Question

【题目】阅读理解：高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，且易出错．聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程．
解：设S=1+2+3+…+100， ①
则S=100+99+98+…+1，②
①+②，得
2S=101+101+101+…+101．
(两式左右两端分别相加，左端等于2s，右端等于100个101的和)
所以2S=100x101，
S= ×100X101=5050 ③
所以1+2+3+…+100=5050．
后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．
请解答下面的问题：
（1）请你运用高斯的“倒序相加法”计算：1+2+3+…+200．
（2）请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想：
1+2+3+…+n= ．
（3）计算：101+102+103+…+2018．

Answer 1

【答案】
（1）解：设S=1+2+3+…+200， ①
则S=200+199+198+…+1，②
①+②，得
2S=201+201+201+…+201．
∴2S=200x101，
S=×200X201=20100 . ③
∴1+2+3+…+200=20100．
（2）n（n+1）.
（3）解：设S=101+102+103+…+2018， ①
则S=2018+2017+2016+…+101，②
①+②，得
2S=2119+2119+2119+…+2119．
∴2S=（2018-101+1）x2119，
即2S=1918x2119，
S=x1918x2119=2032121 . ③
∴101+102+103+…+2018=2032121 .
【解析】（2）解：设S=1+2+3+…+n， ①
则S=n+（n-1）+（n-2）+…+1，②
①+②，得
2S=（n+1）+（n+1）+（n+1）+…+（n+1）．
∴2S=n（n+1），
S=n（n+1）. ③
∴1+2+3+…+n=n（n+1）.
（1）仿照题干，设S=1+2+3+…+200及S=200+199+198+…+1，倒序相加，得到S的值即可；（2）仿照题干，设S=1+2+3+…+n及S=n+（n-1）+（n-2）+…+1，倒序相加，得到S的值即可；（3）仿照题干，设S=101+102+103+…+2018及S=2018+2017+2016+…+101，倒序相加，得到S的值即可.