Question

8．如图，每个小方格都是边长为1的正方形．
（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长；
（2）求∠ADC的度数．

Answer 1

分析 （1）四边形ABCD的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积；由勾股定理求出AD、AB、BC、CD，即可得出四边形ABCD的周长；
（2）求出AD²+CD²=AC²，由勾股定理的逆定理即可求出结果．

解答 解：（1）根据题意得：
四边形ABCD的面积=5×5-$\frac{1}{2}$×3×3-$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×1=12.5；
由勾股定理得：
AD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
BC=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，CD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴四边形ABCD的周长=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$+2$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$+3$\sqrt{5}$；
（2）∵AD²+CD²=5+20=25，AC²=5²=25，
∴AD²+CD²=AC²，
∴∠ADC=90°．

点评 本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形和四边形面积的计算；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．