Question

如图，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC，点A、D、E在同一直线上，CM⊥DE，垂足M，连接BE．
（1）求∠AEB的度数；
（2）证明：CM=

1

2

（AE-BE）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）求出∠ACD=∠BCE=90°-∠DCB，根据SAS推出△ACD≌△BCE，求出∠CEB=∠CDA，求出∠CDA=135°，即可求出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出，AD=BE，根据炖的鱼三角形性质的DM=ME，根据直角三角形斜边上的中线性质求出CM=

1

2

DE即可．

解答：解：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE=90°-∠DCB，
在△ACD和△BCE中

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=CE

∴△ACD≌△BCE，
∴∠CEB=∠CDA，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠DCE=90°，∠CED=45°，
∴∠CEB=∠CDA=90°+45°=135°，
∴∠AEB=135°-45°=90°；

（2）证明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∴AE-BE=DE，
∵DC=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE，
∴DM=ME，
∴CM=

1

2

DE=

1

2

（AE-AD）=

1

2

（AE-BE）．

点评：本题考查了等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ACD≌△BCE，题目综合性比强，有一定的难度．