Question

【题目】如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠BAC＝2∠CDE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若cosB＝，CE＝2，求DE．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）DE＝4

【解析】

（1）根据圆周角定理得出∠ADC=90°，按照等腰三角形的性质和已知的2倍角关系，证明∠ODE为直角即可；

（2）通过证得△CDE∽△DAE，根据相似三角形的性质即可求得．

（1）如图，连接OD，AD，

∵AC是直径，

∴∠ADC＝90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴∠BAC=2∠CAD＝2∠BAD，

∵∠BAC＝2∠CDE．

∴∠CDE＝∠CAD，

∵OA＝OD，

∴∠CAD＝∠ADO，

∵∠ADO+∠ODC＝90°，

∴∠ODC+∠CDE＝90°

∴∠ODE＝90°

又∵OD是⊙O的半径∴DE是⊙O的切线；

（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠ACB=∠B，

∴cos∠ACB=cosB＝

∴AC＝3DC，设DC＝x，则AC＝3x，

∴，

∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，

∴△CDE∽△DAE，

∴，即

∴DE＝4