Question

如图，已知抛物线y=-x²+6x-5．
（1）若抛物线y=ax²+bx+c与y=-x²+6x-5关于原点O中心对称，求此抛物线的解析式；
（2）根据（1）的解题结果，合理猜想：直接写出抛物线y=a（x-m）²+n关于原点O中心对称的二次函数解析式（不要求写推导过程）；
（3）若（1）中抛物线y=ax²+bx+c与y轴交于点M，与x轴交于点A和点B（点A在左），点C是线段AB的中点，求sin∠CMA；
（4）在（3）的条件下，在抛物线y=ax²+bx+c上是否存在点P，使△OPA的面积与△MCA的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据中心对称即可求得y=ax²+bx+c中a，b，c的值；
（2）根据（1）中，y=-x²+6x-5关于原点O中心对称的解析式为y=x²+6x+5，可得抛物线y=a（x-m）²+n关于原点O中心对称的二次函数解析式为y=-a（x+m）²-n；
（3）过C作CG⊥AM，可以求得CG的值，根据CG和CM的值即可解题；
（4）根据题意可知只要P点到x轴的距离为

8

5

即可，取y=±

8

5

即可求得相应的P点．

解答：解：（1）y=-x²+6x-5顶点为（3，4）与x交点为（1，0），（5，0）
抛物线y=ax²+bx+c与y=-x²+6x-5关于原点O中心对称，
∴抛物线y=ax²+bx+c经过（-3，-4）（-5，0），（-1，0）
∴抛物线y=ax²+bx+c=x²+6x+5；
（2）y=-a（x+m）²-n；
（3）过C作CG⊥AM，

y=x²+6x+5交x轴与A，B点，C为AB中点，
∴A（-5，0），B（-1，0），C（-3，0），M（0，4）
∴AM=

41

，CM=5，
根据三角形面积相等可得CG•AM=AC•OM，CG=

8

41

，
∴求sin∠CMA=

CG

CM

=

8

5 41

；
（4）∵△MCA的面积=

1

2

AC•OM=4，
∴△OPA的面积与△MCA的面积相等，即P点到x轴距离为为

2×4

5

=

8

5

即可，
y=x²+6x+5=

8

5

或y=x²+6x+5=-

8

5

，
解得x=

-15± 145

5

或

-15±2 15

5

时成立，
故P点坐标可以为（

-15+ 145

5

，

8

5

），（

-15- 145

5

，

8

5

），（

-15+2 15

5

，-

8

5

），（

-15-2 15

5

，-

8

5

）．

点评：本题考查了中心对称性质，考查了二次函数解析式的求解，考查了三角形内角正弦值的计算，考查了二次函数的运用．