Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，M为边AB的中点，N为边BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE、CE，当△CDE为等腰三角形时，BN的长为_____．

Answer 1

【答案】或2

【解析】

分两种情况：①当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，求出DG=CG=，BG=BC+CG=3，由折叠的性质得EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，证出D、E、N三点共线，设BN=EN=xcm，则GN=3-x， DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）；

解：分两种情况：

①当DE＝DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，如图1所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝CD＝BC＝2，AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DCG＝∠B＝60°，∠A＝120°，

∴DE＝AD＝2，

∵DG⊥BC，

∴∠CDG＝90°﹣60°＝30°，

∴CG＝CD＝1，

∴DG＝CG＝，BG＝BC+CG＝3，

∵M为AB的中点，

∴AM＝BM＝1，

由折叠的性质得：EN＝BN，EM＝BM＝AM，∠MEN＝∠B＝60°，

在△ADM和△EDM中，

，

∴△ADM≌△EDM（SSS），

∴∠A＝∠DEM＝120°，

∴∠MEN+∠DEM＝180°，

∴D、E、N三点共线，

设BN＝EN＝x，则GN＝3﹣x，DN＝x+2，

在Rt△DGN中，由勾股定理得：（3﹣x）2+（）2＝（x+2）2，

解得：x＝，

即BN＝，

②当CE＝CD时，CE＝CD＝AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示：

CE＝CD＝DE＝DA，△CDE是等边三角形，BN＝BC＝2（含CE＝DE这种情况）；

综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为或2；

故答案为：或2．