Question

5．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（6，0）、C（0，4），点P在BC边上运动，过P作PQ⊥OP，交AB边于Q，则AQ的最小值为$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 设CP为x，BQ为y，证明△OCP∽△PBQ，根据相似三角形的性质，列出比例式，由含x的代数式表示y，求出y的最大值，得到AQ的最小值．

解答 解：设CP为x，BQ为y，
则PB=6-x，
∵四边形OABC是矩形，PQ⊥OP，
∴△OCP∽△PBQ，
∴$\frac{PC}{BQ}$=$\frac{OC}{PB}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x=-$\frac{1}{4}$（x-3）²+$\frac{9}{4}$，
y的最大值为：$\frac{9}{4}$，
∴AQ的最小值为：4-$\frac{9}{4}$=$\frac{7}{4}$，
故答案为：$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查的二次函数的最值问题，证明三角形相似，根据相似三角形的性质，得到二次函数，根据二次函数的性质求出最值是解题的关键．