Question

【题目】在平面直角坐标系中，为原点，点，点，把绕点顺时针旋转，得，点，旋转后的对应点为，.记旋转角为.

(Ⅰ)如图①，若，求的长；

(Ⅱ)如图②，若，求点的坐标；

(Ⅲ)记为的中点，S为的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可).

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)点的坐标为；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)利用勾股定理求出AB的长，根据旋转的性质可得∠BAB′=90°，AB=AB′，利用勾股定理求出BB′的长即可；(Ⅱ) 点作轴，垂足为，由旋转的性质可得，.即可求出∠O′AC=60°，利用∠O′AC的三角函数可求出OC和AC的长，进而可得OC的长，即可得答案；(Ⅲ)由旋转的性质可得点O′在以A为圆心，AO为半径的圆上，且O′B′为圆的切线，可得O′在AB上时S最小，O′在BA的延长线上时S最大，先求出KO′的长，进而求出S的值即可得答案.

(Ⅰ)∵点，点，

∴，.

在中，由勾股定理，得.

根据题意，是绕点顺时针旋转得到的，

由旋转的性质，可得，.

∴在中，.

(Ⅱ)如图，根据题意，由旋转的性质，

可得，.

过点作轴，垂足为，则.

在中，

由，

得，

.

有.

∴点的坐标为.

(Ⅲ)如图，由旋转的性质可得点O′在以A为圆心，AO为半径的圆上，且O′B′为圆的切线，

∴O′在AB上时S最小，O′在BA的延长线上时S最大，

当O′在AB上时，

∵K为AB中点，

∴AK=，

∴KO′=4-=

∴S=××3=，

当O′在BA的延长线上时，KO′=AK+AO′=+4=，

∴S=××3=，

∴S的取值范围为：≤S≤.