Question

3．如图，已知直线y=mx+n与反比例函数y=$\frac{k}{x}$交于A、B两点，点A在点B的左边，与x轴、y轴分别交点C、点D，AE⊥x轴于E，BF⊥y轴于F．
（1）直接写出m、n、k的正负性；
（2）若m=1，n=3，k=4．求直线EF的解析式；
（3）写出AC、BD庞的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据一次函数和反比例函数的性质即可直接作出判断；
（2）解直线AB的解析式与反比例函数解析式组成的方程组，求得A和B的坐标，则E、F的坐标即可求得，利用待定系数法求解；
（3）求得A、B、C、D的坐标，则AE、EC以及FD和FB的长度即可求得，从而证明△AEC≌△DFB，根据全等三角形的对应边相等证得AC=BD．

解答 解：（1）m＞0，n＞0，k＞0；
（2）直线AB的解析式是y=x+3，反比例函数的解析式是y=$\frac{4}{x}$．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$．
则A的坐标是（-4，-1），B的坐标是（3，$\frac{4}{3}$）．
则E的坐标是（-4，0），F的坐标是（0，$\frac{4}{3}$）．
设EF的解析式是y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{-4m+n=0}\\{n=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{3}}\\{n=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
则直线EF的解析式是y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{4}{3}$；
（4）AC=BD．
证明：根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，
则mx+n=$\frac{k}{x}$，即mx²+nx-k=0，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-n-\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2m}}\\{y=\frac{n-\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2m}}\\{y=\frac{n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}}\end{array}\right.$，
则A的坐标是（$\frac{-n-\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2m}$，$\frac{n-\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}$），B的坐标是（$\frac{-n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2m}$，$\frac{n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}$）．
则AE=$\frac{\sqrt{{n}^{2}+4mk}-n}{2}$，BF=$\frac{-n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}$．
在直线y=mx+n中，令x=0，解得y=n，则D的坐标是（0，n），则DF=$\frac{n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}$-n=$\frac{-n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2}$，
则在直线y=mx+n中，令y=0，解得x=-$\frac{n}{m}$．则C的坐标是（-$\frac{n}{m}$，0）．
则CE=-$\frac{n}{m}$-$\frac{-n-\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2m}$=$\frac{-n+\sqrt{{n}^{2}+4mk}}{2m}$．
则AE=FD，EC=FB．
则△AEC≌△DFB，则AC=BD．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及全等三角形的判定与性质，正确利用m和n表示出AE、FD、EC以及FB的长是关键．