【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-
x+c交x轴于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0），交y轴于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知点P为抛物线上一点，直线PC与x轴交于点Q，使得PQ=
CQ，求P点坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面内一点，是否存在以A，C，M，N为顶点的矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=-
x2-
x+4；（2）P点坐标（-
，5）或（-
，5）或（
，-5）或（
，-5）；
（3）存在以A、C、M、N为顶点的矩形，点N的坐标为：（2，
）或（-4，
）或（-2，2-
）或（-2，2+）．
【解析】
（1）把点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0）代入y=ax2-
x+c求解即可；
（2）设P（m，-
m2-m+4），作PH⊥x轴于H，由平行可得△QCO∽△QPH，由相似三角形对应线段成比例可得m值，代入求点P坐标即可；
（3）设点M的坐标为（-1，m），可求得AM、AC、CM长，分AC为边或AC为对角线两种情况由勾股定理可得m值，易知点M坐标，由全等三角形的性质确定N点坐标即可.
解：（1）把点A的坐标为（-3，0），点B的坐标为（1，0）代入y=ax2-x+c得
，
解得：
，
∴该抛物线的解析式为y=-x2-x+4；
（2）∵点P为抛物线上一点，
∴设P（m，-m2-m+4），作PH⊥x轴于H，
∴PH∥OC，
∴△QCO∽△QPH，
∴
=
=
，
∴
=±，
解得：m1=-
，m2=-
，m3=，m4=，
∴P点坐标（-，5）或（-，5）或（，-5）或（，-5）；
（3）∵抛物线y=-x2-x+4的对称轴为x=-1，
设点M的坐标为（-1，m），
∵点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，4），
∴AM=
=
，AC=
=5，CM=
=
，
分AC为边或AC为对角线两种情况考虑：
①当AC为边时，有AC2+AM2=CM2或AC2+CM2=AM2，即25+m2+4=m2-8m+17或25+m2-8m+17=m2+4，
解得：m1=-
或m2=
，
∴点M的坐标为（-1，-）或（-1，）；
如图2，分别过M或N作y轴或x轴的垂线，
由全等三角形的性质得，N点的坐标为：（2，
）或（-4，
）；
②当AC为对角线时，有AM2+CM2=AC2，即m2+4+m2-8m+17=25，
解得：m3=2+
，m4=2-，
∴点M的坐标为（-1，2+）或（-1，2-）．
如图3，分别过M或N作y轴或x轴的垂线，
由全等三角形的性质得，N点的坐标为（-2，2-）或（-2，2+）
综上所述：存在以A、C、M、N为顶点的矩形，点N的坐标为：（2，）或（-4，）或（-2，2-）或（-2，2+）．
口算心算速算应用题系列答案
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【题目】△ABC的三边长分别为a、b、c，下列条件：①∠B=∠C-∠A； ②a2=(b+c)(b-c）；③∠A:∠B:∠C=3:4:5；④a:b:c=5:12:13， 其中能判断△ABC是直角三角形的个数有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】已知：抛物线 y＝ax2＋bx＋1 经过 A(1，0)、B(－1，3)两点．
（1）求 a，b 的值；
（2）以线段 AB 为边作正方形 ABB′A′，能否将已知抛物线平移，使其经过 A′、B′两点？若能，求出平移后经过 A′、B′两点的抛物线的解析式；若不能，请说明理由．
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【题目】如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．
求证：（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．
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【题目】某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元.
(1)第一批饮料进货单价多少元？
(2)若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少元？
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【题目】为了适合不同人群的需求，某公司对每日坚果混合装进行改革．甲种每袋装有10克核桃仁，10克巴旦木仁，10克黑加仑；乙种每袋装有20克核桃仁，5克巴旦木仁，5克黑加仑．甲乙两种袋装干果每袋成本价分别为袋中核桃仁、巴旦木仁、黑加仑的成本价之和．已知核桃仁每克成本价0.04元，甲每袋坚果的售价为5.2元，利润率为
，乙种坚果每袋利润率为
，若这两种袋装的销售利润率达到
，则该公司销售甲、乙两种袋装坚果的数最之比是____．
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【题目】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y(m)与甲所用时间x(min) 之间的函数关系如图所示．有下列说法： ①A、B之间的距离为1200m；②甲行走的速度是乙的1．5倍；③
；④
．以上结论正确的有( )
A.①④B.①②③C.①③④D.①②④
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【题目】定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC．
（1）请在图1中再找出一对这样的角来： ＝ ．
（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．
（3）在第（2）题的条件下，若此时AB＝6，BD＝8
，求BC的长．
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