以C为直角顶点内的两个等腰直角△CAB和△CDG.E为AB的中点.F为DG的中点．(1)如图1.点A.B分别在边CD.CG上.则FF与AD的数量关系是AD=$\sqrt{2}$EF．(2)如图2.点A.B不在边CD.CG上.(1)中FF与AD的数量关系还成立吗?请证明你的结论．(3)如图3.若A.B.G在同一直线上.且A.C.B.F在同一圆上.求△CDG与△CAB面� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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15．以C为直角顶点内的两个等腰直角△CAB和△CDG，E为AB的中点，F为DG的中点．
（1）如图1，点A，B分别在边CD，CG上，则FF与AD的数量关系是AD=$\sqrt{2}$EF．
（2）如图2，点A，B不在边CD，CG上，（1）中FF与AD的数量关系还成立吗？请证明你的结论．
（3）如图3，若A，B，G在同一直线上，且A，C，B，F在同一圆上，求△CDG与△CAB面积之比．

分析（1）如图1中，结论：AD=$\sqrt{2}$EF．连接EC，CF．首先证明C、E、F共线，再根据AC=$\sqrt{2}$EC，CD=$\sqrt{2}$CF，可得结论．
（2）结论仍然成立．只要证明△ACD∽△ECF，可得$\frac{AD}{EF}$=$\frac{AC}{EC}$=$\sqrt{2}$，即可证明．
（3）首先证明BC=BG，设EC=EB=a，则BC=BG=$\sqrt{2}$a，在Rt△ECG中，CG=$\sqrt{E{C}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（a+\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$a，根据$\frac{{S}_{△ACB}}{{S}_{△CDG}}$=$\frac{\frac{1}{2}B{C}^{2}}{\frac{1}{2}C{G}^{2}}$计算即可．

解答解：（1）如图1中，结论：AD=$\sqrt{2}$EF．理由如下：

连接EC，CF．
∵∠CAB=∠D=45°，
∴AB∥CD，
∵CA=CB，AE=EB，
∴CE⊥AB，同理CF⊥CD，
∴CF⊥AB，
∴C、E、F共线，
∵△ACE，△DCF是等腰直角三角形，
∴AC=$\sqrt{2}$EC，CD=$\sqrt{2}$CF，
∴CD-AC=AD=$\sqrt{2}$（CF-CE）=$\sqrt{2}$EF．
∴AD=$\sqrt{2}$EF．

（2）如图2中，结论仍然成立．理由如下：
连接CE、FC．

∵∠ACE=∠DCF=45°，
∴∠ACD=∠ECF，
∵$\frac{AC}{EC}$=$\frac{CD}{CF}$=$\sqrt{2}$，
∴△ACD∽△ECF，
∴$\frac{AD}{EF}$=$\frac{AC}{EC}$=$\sqrt{2}$，
∴AD=$\sqrt{2}$EF．

（3）如图3中，

∵EC=EF，
∴∠EFC=∠ECF，
∵∠CEG=∠CFG=90°，
∴点C、E、F、G四点共圆，
∴∠EFC=∠CGB，
∵∠ACD=∠ECF=∠BCG，
∴∠BCG=∠BGC，
∴BC=BG，设EC=EB=a，则BC=BG=$\sqrt{2}$a，
在Rt△ECG中，CG=$\sqrt{E{C}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+（a+\sqrt{2}a）^{2}}$=$\sqrt{4+2\sqrt{2}}$a，
∴$\frac{{S}_{△ACB}}{{S}_{△CDG}}$=$\frac{\frac{1}{2}B{C}^{2}}{\frac{1}{2}C{G}^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}}{（4+2\sqrt{2}）{a}^{2}}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．

点评本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，构造相似三角形，属于中考压轴题．

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