Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．

（1）则点A、B、C的坐标分别是A（__，__），B（__，__），C（__，__）；

（2）设经过A、B两点的抛物线解析式为，它的顶点为F，求证：直线FA与⊙M相切；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形．如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），B（8，0），C（0，4）；（2）证明见试题解析；（3）P（5，4），或（5，），或（5，）．

【解析】

试题分析：（1）连接MC、MA，由切线的性质得出MC⊥y轴，MC=MA=5，OC=MD=4，得出点C的坐标；由MD⊥AB，得出DA=DB，∠MDA=90°，由勾股定理求出AD，得出BD、OA、OB，即可得出点A、B的坐标；

（2）把点A（2，0）代入抛物线得出k的值，得出顶点E的坐标，得出DE、ME，由勾股定理得出的值，证出，由勾股定理的逆定理证出∠MAE=90°，即可得出EA与⊙M相切；

（3）由勾股定理求出BC，分三种情况：

①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，容易得出点P的坐标；

②当BP=BC=时，由勾股定理求出PD，即可得出点P的坐标；

③当PC=BC=时，由勾股定理求出PM，得出PD，即可得出点P的坐标．

试题解析：（1）连接MC、MA，如图1所示：

∵⊙M与y轴相切于点C，∴MC⊥y轴，∵M（5，4），∴MC=MA=5，OC=MD=4，∴C（0，4），∵MD⊥AB，∴DA=DB，∠MDA=90°，∴AD==3，∴BD=3，∴OA=5﹣3=2，OB=5+3=8，∴A（2，0），B（8，0），故答案为：2，0；8，0；0，4；

（2）把点A（2，0）代入抛物线y=，得：k=，∴E（5，），∴DE=，∴ME=MD+DE==，==，∵ ==，=，∴，∴∠MAE=90°，即EA⊥MA，∴EA与⊙M相切；

（3）存在；点P坐标为（5，4），或（5，），或（5，）；理由如下：

由勾股定理得：BC===，分三种情况：

①当PB=PC时，点P在BC的垂直平分线上，点P与M重合，∴P（5，4）；

②当BP=BC=时，如图2所示：

∵PD===，∴P（5，）；

③当PC=BC=时，连接MC，如图3所示：

则∠PMC=90°，根据勾股定理得：PM===，∴PD=，∴P（5，）；

综上所述：存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形，点P的坐标为（5，4），或（5，），或（5，）．