Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)和点B(4，0)，且与y轴交于点C，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB.

⑴求抛物线的解析式；

⑵当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；

⑶当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣0．5x2+1．5x+2；（2）可得点P的坐标是（，3）或（，3）；（3）线段EG的最小值是．

【解析】

试题（1）已知抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0）和点B（4，0），用待定系数法，求出该抛物线的解析式即可．

（2）已知△PDB的面积等于△CAD的面积，根据已知条件求出△CAD的面积，即可求出△PDB的面积，然后根据点D、点B的坐标求出BD的长，即可求出△PDB边BD上的高，也就是点P的纵坐标，分两种情况，点P在x轴的上方，点P在x轴的下方，再把它分别代入抛物线的解析式，求出x的值，即可判断出点P的坐标．

（3）已知点B、点C的坐标，用待定系数法，求出直线BC的解析式；然后根据点P的坐标是（m，n），PF∥x轴，且点F在直线BC上，求出点F的坐标，再由勾股定理得出EG2与n之间的二次函数关系，利用二次函数的性质求得EG2的最小值，即可得线段EG的最小值．

试题解析： 解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）两点的坐标代入y=ax2+bx+2中，可得

解得

∴抛物线的解析式为：y=﹣0．5x2+1．5x+2．

（2）∵抛物线的解析式为y=﹣0．5x2+1．5x+2，

∴点C的坐标是（0．2），

∵点A（﹣1，0）、点D（2，0），

∴AD=2﹣（﹣1）=3，

∴△CAD的面积=，

∴△PDB的面积=3，

∵点B（4，0）、点D（2，0），

∴BD=2，

∴|n|=3×2÷2=3，

∴n=3或﹣3，

①当n=3时，

0．5m2+1．5m+2=3，

解得m=或m=，

∴点P的坐标是（，3）或（，3）．

②当n=﹣3时，

0．5m2+1．5m+2=﹣3，

整理，可得

m2+3m+10=0，

∵△=32﹣4×1×10=﹣31＜0，

∴方程无解．

综上，可得点P的坐标是（，3）或（，3）．

（3）如图1，，

设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，

∵点C的坐标是（0，2），点B的坐标是（4，0），

∴

解得

∴BC所在的直线的解析式是：y=﹣0．5x+2，

∵点P的坐标是（m，n），

∴点F的坐标是（4-2n，n），

∴EG2=（4-2n）2+n2=5n2﹣16n+16=5+，

∵n＞0，

∴n=时，线段EG2的最小值是，

即线段EG的最小值是．