[题目]阅读下面材料:小伟遇到这样一个问题:如图1.在△ABC(其中∠BAC是一个可以变化的角)中.AB=2.AC=4.以BC为边在BC的下方作等边△PBC.求AP的最大值．小伟是这样思考的:利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC.连接A′A.当点A落在A′C上时.此题可解(如图2)．请你回� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．

请你回答：AP的最大值是　　．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是　　．（结果可以不化简）

【答案】（1）6；（2）2+2.

【解析】

（1）由旋转得到△A′BC，有△A′BA是等边三角形，当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，最大即可；

（2）由旋转得到结论PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC，只有，A1、P1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，根据勾股定理，即可．

（1）如图2，

∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，

∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C

∴△A′BA是等边三角形，

∴A′A=AB=BA′=2，

在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，

则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；

故答案是：6．

（2）如图3，

∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．

以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，

∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．

∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，

∴A'C=PA+PB+PC，

∴A'C长度即为所求．

过A'作A'D⊥CB延长线于D．

∵∠A'BA=60°（由旋转可知），

∴∠1=30°．

∵A'B=4，

∴A1D=2，BD=2

∴CD=4+2；

在Rt△A1DC中，A1C=．

∴AP+BP+CP的最小值是：（或不化简为）．

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