Question

9．如图，一艘巡逻船在海上A处巡航，突然接到海上指挥中心O处发出的紧急通知，在巡逻船的东北方向的B处有一艘渔船遇险，要马上前去救援，已知点A位于指挥中心O的北偏西60°方向上，且相距60海里，渔船位于指挥中心O的北偏西30°方向上，求A、B两地之间的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732，$\sqrt{6}$≈2.449）

Answer 1

分析 作BC⊥OA于点C，根据题意得∠MAB=45°，∠NOA=60°，∠NOB=30°，OA=60海里．由AM∥ON，求出∠BAO=∠MAO-∠MAB=75°，根据三角形内角和定理得出∠ABO=180°-∠BAO-∠AOB=75°，利用等角对等边得到OB=OA=60海里，在直角△OBC中根据含30°角的直角三角形的性质得出BC=$\frac{1}{2}$OB=30海里，OC=$\sqrt{3}$BC=30$\sqrt{3}$海里，那么AC=OA-OC=（60-30$\sqrt{3}$）≈8.04海里，然后根据勾股定理求出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$≈31.1海里．

解答 解：如图，作BC⊥OA于点C，根据题意得∠MAB=45°，∠NOA=60°，∠NOB=30°，OA=60海里．
∵AM∥ON，
∴∠MAO+∠NOA=180°，
∴∠MAO=180°-∠NOA=120°，
∴∠BAO=∠MAO-∠MAB=75°，
∵∠AOB=∠NOA-∠NOB=30°，
∴∠ABO=180°-∠BAO-∠AOB=75°，
∴∠BAO=∠ABO=75°，
∴OB=OA=60海里，
∴BC=$\frac{1}{2}$OB=30海里，OC=$\sqrt{3}$BC=30$\sqrt{3}$海里，
∴AC=OA-OC=（60-30$\sqrt{3}$）≈8.04海里，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$≈$\sqrt{8.0{4}^{2}+3{0}^{2}}$≈31.1海里．
答：A、B两地之间的距离约为31.1海里．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理．求出∠BAO=∠ABO=75°是解题的关键．