Question

【题目】如图，在△ABC中，AG⊥BC，垂足为点G，点E为边AC上一点，BE=CE，点D为边BC上一点，GD=GB，连接AD交BE于点F．

（1）求证：∠ABE=∠EAF；

（2）求证：AE2=EFEC；

（3）若CG=2AG，AD=2AF，BC=5，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=．

【解析】

（1）首先证明∠EBC=∠C，∠ABD=∠ADB，再根据∠ABD=∠ABE+∠EBC，∠ADB=∠DAC+∠C，可得结论．
（2）证明△AEF∽△BEA可得结论．
（3）设BE交AG于J，连接DJ，DE．证明四边形AJDE是平行四边形，推出DE⊥BC，AE=DJ，想办法求出DJ即可解决问题．

（1）证明：∵EB=EC，

∴∠EBC=∠C，

∵AG⊥BD，BG=GD，

∴AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵∠ABD=∠ABE+∠EBC，∠ADB=∠DAC+∠C，

∴∠ABE=∠DAC，

即∠ABE=∠EAF；

（2）证明：∵∠AEF=∠BEA，∠EAF=∠ABE，

∴△AEF∽△BEA，

∴，

∴AE2=EFEB，

∵EB=EC，

∴AE2=EFEC；

（3）解：设BE交AG于J，连接DJ，DE．

∵AG垂直平分线段BD，

∴JB=JD，

∴∠JBD=∠JDG，

∵∠JBD=∠C，

∴∠JDB=∠C，

∴DJ∥AC，

∴∠AEF=∠DJF，

∵AD=2AF，

∴AF=DF，

在△AFE和△DFJ中，

，

∴△AFE≌△DFJ（AAS），

∴EF=FJ，AE=DJ，

∵AF=DF，

∴四边形AJDE是平行四边形，

∴DE∥AG，

∵AG⊥BC，

∴ED⊥BC，

∵EB=EC，

∴BD=DC=，

∴BG=DG=，

∵tan∠JDG=tan∠C=，

∴JG=，

∵∠JGD=90°，

∴DJ=，

∴AE=DJ=．