Question

如图为二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象，下面四条信息：①4ac＜b²＜0；②4a+c＜2b；③m（am+b）＜a-b（m≠-1）；④3a+c＞0，其中正确信息的个数是（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线与x轴有2个交点得到b²-4ac＞0，即4ac＜b²，而b²≥0，于是可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，则当x=-2时，y＞0，即4a-2b+c＞0，于是可对②进行判断；根据抛物线的最值问题，当x=-1时，y有最大值，即am²+bm+c＜a-b+c（m≠-1），于是可对③进行判断；由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1得到b=2a，再加上x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，则可对④进行判断．

解答：解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b²-4ac＞0，即4ac＜b²，
而b²≥0，所以①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在原点和（1，0）之间，
而抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，
∴当x=-2时，y＞0，
∴4a-2b+c＞0，即4a+c＞2b，所以②错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x=-1时，y有最大值，
∴am²+bm+c＜a-b+c（m≠-1），即m（am+b）＜a-b（m≠-1），所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a，
而x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，即3a+c＜0，所以④错误．
故选D．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．