Question

如图，直线y=x-3分别与x轴、y轴交于点P，F，与双曲线y=

4

x

（x＜0）交于点E，在x轴上是否存在点D，使点D、F、P组成的三角形与△OEP相似？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：首先由直线y=x-3分别与x轴、y轴交于点P，F，与双曲线y=

4

x

（x＜0）交于点E，求得点P，F，E的坐标，继而求得PO，PE，PF的长，然后由∠OPE是公共角，分别从①当

PD

PO

=

PF

PE

时，△PDF∽△POE；②当

PD

PE

=

PF

PO

时，△PDF∽△PEO；去分析求解即可求得答案．

解答：解：存在．
∵直线y=x-3分别与x轴、y轴交于点P，F，
∴点P（3，0），点F（0，-3），
∴OP=3，OF=3，
∴PF=

OP2+OF2

=3

2

，
∵直线y=x-3与双曲线y=

4

x

（x＜0）交于点E，
∴

y=x-3 y= 4 x

，
解得：

x=-1 y=-4

，
∴点E（-1，-4），
∴PE=

(-1-3)2+42

=4

2

，
∵∠OPE是公共角，
∴①当

PD

PO

=

PF

PE

时，△PDF∽△POE，
∴

PD

3

=

3 2

4 2

，
解得：PD=

9

4

，
∴OD=OP-PD=3-

9

4

=

3

4

，
∴点D₁（

3

4

，0）；
②当

PD

PE

=

PF

PO

时，△PDF∽△PEO，
∴

PD

4 2

=

3 2

3

，
解得：PD=8，
∴OD=PD-OP=8-3=5，
∴点D₂（-5，0）；
综上所述：点D的坐标为：（

3

4

，0）或（-5，0）．

点评：此题属于反比例函数综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．