【题目】如图,等腰三角形△ABC中,∠BAC=120°,AB=3.
(1)求BC的长.
(2)如图,点D在CA的延长线上,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,连EF.求EF的最小值.
【答案】(1)BC=;(2)EF的最小值为
【解析】
(1)过点A作AM⊥BC于点M,根据等腰三角形的性质得∠B=30°,BM=CM,由直角三角形的性质得BM=,进而即可求解;
(2)连接BD,取BD的中点O,连接OE,OF,易得B,D,E,F四点共圆,从而得OEF是等边三角形,进而得EF=BD,由BD⊥CD时, BD的值最小,进而即可求解.
(1)过点A作AM⊥BC于点M,
∵等腰三角形△ABC中,∠BAC=120°,AB=3,
∴∠B=(180°-120°)÷2=30°,BM=CM,
∴BM=3÷2×=,
∴BC=2 BM=2×=3;
(2)连接BD,取BD的中点O,连接OE,OF,
∵DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,
∴在RtBDF与RtBDE中,OB=OD=OE=OF=BD,
∴B,D,E,F四点共圆,
∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°,
∴OEF是等边三角形,
∴EF=OF=BD,
∵∠C=∠EBF =30°,
∴当BD⊥CD时,BD=BC=,此时,BD的值最小,
∴EF的最小值=BD =×=.
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【题目】如图,正方形的边长为4,延长至使,以为边在上方作正方形,延长交于,连接、,为的中点,连接分别与、交于点、.则下列结论:①;②;③;④.其中正确的结论有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图,在直角坐标系中,矩形的顶点与原点重合,、分别在坐标轴上,,,直线交,分别于点,,反比例函数的图象经过点,.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)直接写出当时,的取值范围;
(3)若点在轴上,且的面积与四边形的面积相等,求点的坐标.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AD=4,把边CD绕点C逆时针旋转30度得到线段CE,连接BE并延长,交AD于点F,连接DE,则线段EF的长度为________
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【题目】现种植A、B、C三种树苗一共480棵,安排80名工人一天正好完成,已知每名工人只植一种树苗,且每名工人每天可植A种树苗8棵;或植B种树苗6棵,或植C种树苗5棵.经过统计,在整个过程中,每棵树苗的种植成本如图所示.
设种植A种树苗的工人为x名,种植B种树苗的工人为y名.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若种植的总成本为5600元,从植树工人中随机采访一名工人,求采访到种植C种树苗工人的概率.
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【题目】如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.
(1)求证:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=50°,则∠BDE= °.
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【题目】(1)(操作发现)
如图1,将△ABC绕点A顺时针旋转50°,得到△ADE,连接BD,则∠ABD= 度.
(2)(解决问题)
①如图2,在边长为的等边三角形ABC内有一点P,∠APC=90°,∠BPC=120°,求△APC的面积.
②如图3,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点,若PB=1,PA=3,∠BPC=135°,则PC= .
(3)(拓展应用)
如图4是A,B,C三个村子位置的平面图,经测量AB=4,BC=3,∠ABC=75°,P为△ABC内的一个动点,连接PA,PB,PC.求PA+PB+PC的最小值.
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【题目】已知二次函数的与的部分对应值如下表:
-1 | 0 | 1 | 3 | |
-3 | 1 | 3 | 1 |
下列结论:①抛物线的开口向下;②其图象的对称轴为;③当时,函数值随的增大而增大;④方程有一个根大于4.其中正确的结论有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】如图,正方形的边长为,点与原点重合点在轴的正半轴上,点在轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB′C′D′的位置,B′C′与CD相交于点M,则点M的坐标为__________.
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