Question

4．已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，
（1）证明：∠APO+∠DCO=30°；
（2）判断△OPC的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等边对等角，即可证得：∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，则∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD，据此即可求解；
（2）证明∠POC=60°且OP=OC，即可证得△OPC是等边三角形．

解答 解：（1）连接OB．
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×120°=60°  
∴OB=OC，∠ABC=90°-∠BAD=30°，
∵OP=OC，
∴OB=OC=OP，
∴∠APO=∠ABO，∠DCO=∠DBO，
∴∠APO+∠DCO=∠ABO+∠DBO=∠ABD=30°；

（2）等边三角形；
∵∠APC+∠DCP+∠PBC=180°，
∴∠APC+∠DCP=150°，
∵∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
∴∠POC=180°-（∠OPC+∠OCP）=60°，
∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形．

点评 本题考查了等腰三角形的判定，等腰三角形的性质三线合一，以及等边三角形的判定等知识点．