Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若DB平分∠ADC，AB=a，AD：DE=4：1，写出求DE长的思路．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：连接OD．

∵OD=CD，

∴∠ODC=∠OCD．

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=∠EDC=90°．

∵点F为CE的中点，

∴DF=CF．

∴∠FDC=∠FCD．

∴∠FDO=∠FCO．

又∵AC⊥CE，

∴∠FDO=∠FCO=90°．

∴DF是⊙O的切线

（2）解：）①由DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，证明△ABC是等腰直角三角形；

②由AB=a，求出AC的长度为 ；

③由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，证明△ACD∽△AEC，得到AC2=ADAE；

④设DE为x，由AD：DE=4：1，求出DE= a．

解：∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB=∠CDB，

∴∠BAC=∠BCA，

∴AB=BC，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵AB=a，

∴AC= a，

∵∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，

∴△ACD∽△AEC，

∴AC：AE=AD：AC，

∴AC2=ADAE，

设DE为x，

∵AD：DE=4：1，

∴AD=4x，

∴（ a）2=20x2，

解得x= a．

即DE= a．

【解析】（1）连接OD，直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，进而得出答案；（2）首先证明证明△ABC是等腰直角三角形；其次其次AC的长；再证明ACD∽△AEC，得到AC2=ADAE；最后由相似三角形的性质即可求出DE的长．
【考点精析】利用圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知把圆分成n(n≥3):1、依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2、经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．