Question

在平面直角坐标系中，点A（2，1）、B（4，2），坐标原点为O点．
（1）在y轴上有一动点C，求当AC+BC最小时，C点的坐标；
（2）在直线y=x上有一动点D，求当AD+BD最小时，D点的坐标；
（3）在x轴上有两个点E（m，0）、F（m+1，0），求当四边形CEFD周长最小时，m的值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）作A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于C，此时AC=A′C，则AC+BC=A′C+BC=A′B，根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，然后根据待定系数法即可求得直线A′B的解析式，进而求得C的坐标；
（2）作A点关于直线y=x的对称点A″，连接A″B，交直线y=x于D，此时AD=DA″，则AD+BD=DA″+BD=A″B，根据两点之间线段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，然后根据A″（1，2），B（4，2）的坐标判定D的纵坐标为2，代入y=x即可求得；
（3）作点C关于x轴的对称点C′，则C′的坐标为（0，-

4

3

），把C′向右平移1个单位得到点D'（1，-

4

3

），连接DD′，与x轴交于点F，根据对称的性质得出C′E=CE，然后证得四边形C′D′FE为平行四边形，则C′E=D′F，得出CE=D′F，从而得出CE+DF=DD′，此时CE+DF最小，而CD与EF的长一定，所以此时四边形CEFD周长最短．设直线DD′的解析式为y=k′x+n，根据待定系数法求得直线DD′的解析式，即可求得m的值．

解答：解：（1）如图1，作A点关于y轴的对称点A′，连接A′B，交y轴于C，
∴AC=A′C，
∴AC+BC=A′C+BC=A′B，
根据两点之间线段最短可知A′B就是AC+BC的最小值，
∵点A（2，1），
∴A′（-2，1），
∵B（4，2），
设直线A′B的解析式为y=kx+b，
∴

-2k+b=1 4k+b=2

，
解得

k= 1 6 b= 4 3

．
∴直线A′B的解析式为y=

1

6

x+

4

3

，
∴C（0，

4

3

）；
（2）如图2，作A点关于直线y=x的对称点A″，连接A″B，交直线y=x于D，
∴AD=DA″，
∴AD+BD=DA″+BD=A″B，
根据两点之间线段最短可知A″B就是AD+BD的最小值，
∵点A（2，1），
∴A″（1，2），
∵B（4，2），
∴直线BA″∥x轴，
∴y=2，
代入y=x中得x=2，
∴D（2，2）；
（3）作点C关于x轴的对称点C′，则C′的坐标为（0，-

4

3

），把C′向右平移1个单位得到点D'（1，-

4

3

），连接DD′，与x轴交于点F，如图3，
∴C′E=CE，
又∵点E（m，0）、F（m+1，0），
∴EF=1，
∴C′D′∥EF，
∴四边形C′D′FE为平行四边形，
∴C′E=D′F，
∴CE=D′F，
∴CE+DF=DD′，此时CE+DF最小，
而CD与EF的长一定，
∴此时四边形CEFD周长最短．
设直线DD′的解析式为y=k′x+n，
把D（2，2）、D′（1，-

4

3

）分别代入得

2k′+n=2 k′+n=- 4 3

，
解得k′=

10

3

，n=-

14

3

，
∴直线DD′的解析式为y=

10

3

x-

14

3

，
令y=0，则

10

3

x-

14

3

=0，
解得x=

7

5

，
∴D点坐标为（

7

5

，0），
∴m+1=

7

5

，
∴m=

2

5

．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．