Question

已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，BD交于点O，设△AOD，△AOB，△BOC，△COD的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄．

（1）求证：S₂=S₄；

（2）设AD=m，BC=n，， =，根据上述条件，判断S₁+S₃与S₂+S₄的大小关系，并说明理由．

Answer 1

【考点】面积及等积变换．

【分析】（1）过A、D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据同底等高的两个三角形面积相等得到S_△ABC=S_△DBC，证明结论；

（2）根据题意用S₁分别表示S₂、S₃，利用求差法和非负数的性质进行判断即可．

【解答】证明：（1）过A、D分别作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，

∵AD∥BC，

∴AE=DF，

∴S_△ABC=S_△DBC，

∴S_△ABC﹣S_△OBC=S_△DBC﹣S_△OBC，即S_△ABO=S_△DCO，

∴S₂=S₄；

（2）∵，

∴S₂=S₁，

∵=，

∴S₃=S₁，

∴S₃+S₁=S₁，

∵S₂=S₄，

∴S₂+S₄=S₁，

∴（S₁+S₃）﹣（S₂+S₄）=S₁﹣S₁=S₁，

当m=n时， =0，

S₁+S₃=S₂+S₄，

当m≠n时，＞0，

（S₁+S₃）﹣（S₂+S₄）＞0，

（S₁+S₃）＞（S₂+S₄）．

【点评】本题考查的是面积及等积变换，掌握等底等高的两个三角形面积相等、相似三角形的面积比等于相似比的平方以及等量代换是解题的关键．