Question

如图，在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC=，AB=13．

（1）求AE的长；

（2）求tan∠DBC的值．

Answer 1

【考点】解直角三角形；勾股定理．

【分析】（1）根据AE⊥BC，垂足为点E，交BD于F，cos∠ABC=，AB=13，可以求得BE的长，从而可以求得AE的长；

（2）根据在△ABC中，AB=AC，BD是AC边上的中线，AE⊥BC，可知AE、BD为△ABC的中线，从而可以利用重心定理得到EF的长，由AE⊥BC，从而可以得到tan∠DBC的值．

【解答】解：（1）∵AE⊥BC，

∴∠AEB=90°．

∵，AB=13，

∴BE=5．

∵在Rt△BEA中，BE²+AE²=AB²，

∴．

（2）∵AB=AC，AE⊥BC，

∴AE是BC边上的中线．

又∵BD是AC边上的中线，

∴F是△ABC的重心．

∵AE=12，

∴．

∵Rt△BEF中，BE=5，EF=4，

∴tan∠DBC=．

【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理，解题的关键是明确直角三角形中边角的关系，知道重心定理．