Question

7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k₁x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$的图象在第一象限内交于点B，连结BO．若S_△OBC=1，tan∠BOC=$\frac{1}{3}$．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点P是反比例函数y=$\frac{{k}_{2}}{x}$（x＞0）图象上异于点B的另一点，若S_△PAO=5，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）过B作BE⊥OC于E，由y=k₁x+2，令x=0，得y=2，得到C（0，2），根据三角函数的定义得到B（1，3），把B（1，3）分别代入y=k₁x+2和y=$\frac{{k}_{2}}{x}$于是得到结论；
（2）由A（-2，0），得到OA=2，设P（a，$\frac{3}{a}$），根据三角形的面积列方程即可得到结论．

解答 解：（1）过B作BE⊥OC于E，
由y=k₁x+2，令x=0，得y=2，
∴C（0，2），
∴OC=2，
∵S_△OBC=1，
∴BE=1，
∵tan∠BOC=$\frac{BE}{OE}=\frac{1}{OE}$=$\frac{1}{3}$，
∴OE=3，
∴B（1，3），
把B（1，3）分别代入y=k₁x+2和y=$\frac{{k}_{2}}{x}$得k₁=1，k₂=3，
∴一次函数与反比例函数的解析式分别为：y=x+2，y=$\frac{3}{x}$；
（2）由y=x+2，令y=0，得x=-2，
∴A（-2，0），
∴OA=2，
设P（a，$\frac{3}{a}$），
∵S_△PAO=5，
∴$\frac{1}{2}$×2×$\frac{3}{a}$=5，
∴a=$\frac{3}{5}$
∴P（$\frac{3}{5}$，5）．

点评 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，函数的图象的应用，解此题的关键是能综合运用知识点进行计算，数形结合思想的应用，难度适中．