Question

8．已知线段OA，OB，OC，OD，OE，OF，∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=60°，且AD=BE=CF=2，求证：S_△OAB+S_△OCD+S_△OEF＜$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 分别得到△AOP≌△AOB、△PGQ≌△EOF、△QOD≌△COD，从而得到S_△AOP=S_△AOB，S_△PGQ=S_△EOF，S_△QOD=S_△COD，从而利用S_△OAB+S_△OCD+S_△OEF=S_△AOP+S_△PGQ+S_△QOD求解．

解答 证明：作AG∥BE，DG∥CF，
则∠DAG=∠AOB=60°=∠COD=∠ADG，
∴△ADG是等边三角形且边长为2，
∴S△ADG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
在AG上截取AP=OB，连接OP，
则△AOP≌△AOB，
即S_△AOP=S_△AOB，
∵BE=AG，OB=AP，
∴OE=PG，
在DG上截取GQ=OF，连接PQ，
则△PGQ≌△EOF，
即：S_△PGQ=S_△EOF，
∵GD=CF，GQ=OF，
∴DQ=OC，
∴△QOD≌△COD，即S_△QOD=S_△COD，
∴S_△OAB+S_△OCD+S_△OEF=S_△AOP+S_△PGQ+S_△QOD=S_△ADG-S_△OPQ=$\sqrt{3}$-S_△OPQ＜$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了面积及等积变换的知识，解题的关键是正确的作出辅助线，构造全等的三角形，难度偏大．