Question

如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①AE=CF； ②△EPF是等腰直角三角形； ③S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC； ④BE+CF=EF．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合）．上述结论中始终正确的有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：根据题干中给出的条件可以证明△AEP≌△CFP，即可求得AE=CF，EP=FP，对4个结论一一分析，即可解题．

解答：解：∵AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，
∴AP=CP，∠EAP=∠FCP=45°，
∵∠EPA+∠APF=90°，∠FPC+∠APF=90°，
∴∠APE=∠CPF，
在△AEP和△CFP中，

∠APE=∠CPE AP=CP ∠EAP=∠FCP

，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴AE=CF，①正确；
∴EP=FP，∴△EPF是等腰直角三角形；②正确；
∴△AEP面积和△CFP面积相等，
∴S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC；③正确；
∵BE+CF=AF+AE＞EF，（三角形两边和大于第三边），∴④错误；
∴①②③正确．
故选C．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEP≌△CFP是解题的关键．