Question

5．如图所示，已知正方形ABCD的周长为16cm，E为AB的中点，F为BC上一点，且BF：FC=1：3，求△DEF的周长和面积．

Answer 1

分析 由正方形的性质和已知条件得出AB=BC=CD=DA=4cm，AE=BE=2c，BF=1cm，FC=3cm，由勾股定理求出DE、EF、DF，即可得出△DEF的周长；△DEF的面积=正方形ABCD的面积-△ADE的面积-△BEF的面积-△CDF的面积，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=90°，
∵正方形ABCD的周长为16cm，
∴AB=BC=CD=DA=4cm，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE=2cm，
∵BF：FC=1：3，
∴BF=1cm，FC=3cm，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$（cm），
EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$（cm），
DF=$\sqrt{C{D}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5（cm），
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=2$\sqrt{5}$+$\sqrt{5}$+5=3$\sqrt{5}$+5（cm）；
△DEF的面积=正方形ABCD的面积-△ADE的面积-△BEF的面积-△CDF的面积
=4×4-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×1-$\frac{1}{2}$×3×4=5（cm²）．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、三角形周长和面积的计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．