Question

【题目】如图，在四边形中，，，，，、分别在、上，且，与相交于点，与相交于点．

（1）求证：四边形为矩形；

（2）判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由；

（3）求四边形的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）四边形EFPH为矩形，理由见解析；（3）

【解析】

（1）由平行线的性质证出∠BCD=90°即可；

（2）根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出∠BEC=90°，根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH//FP，EF//HP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可；

（3）根据三角形的面积公式求出CF，求出EF，根据勾股定理求出PF，根据面积公式求出即可．

（1）证明：∵AB//CD，

∴∠CBA+∠BCD=180°，

∵∠CBA=∠ADC=90°，

∴∠BCD=90°，

∴四边形ABCD是矩形；

（2）解：四边形EFPH为矩形；理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=5，AB=CD=2，AD∥BC，

由勾股定理得：CE= ，

同理BE=2，

∴CE2+BE2=5+20=25，

∵BC2=52=25，

∴BE2+CE2=BC2，

∴∠BEC=90°，

∴△BEC是直角三角形．

∵DE=BP，DE//BP，

∴四边形DEBP是平行四边形，

∴BE//DP，

∵AD=BC，AD//BC，DE=BP，

∴AE=CP，

∴四边形AECP是平行四边形，

∴AP//CE，

∴四边形EFPH是平行四边形，

∵∠BEC=90°，

∴平行四边形EFPH是矩形．

（3）解：∵四边形AECP是平行四边形，

∴PD=BE=2，

在Rt△PCD中，FC⊥PD，PC=BC-BP=4，

由三角形的面积公式得：PDCF=PCCD，

∴CF=，

∴EF=CE-CF=，

∵PF=，

∴S矩形EFPH=EFPF=，

即：四边形EFPH的面积是．