Question

2．在四边形ABCD中，AC=AB，DC=CB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一点，F是AB延长线上一点，且CE=BF．

（1）求证：DE=DF；
（2）在图1中，若G在AB上且∠EDG=60°，试猜想CE、EG、BG之间的数量关系并证明所归纳结论；
（3）若题中条件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改为∠CAB=α，∠CDB=180°-α，G在AB上，∠EDG满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要证明）．
（4）运用（1）（2）（3）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）首先判断出∠C=∠DBF，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△CDE≌△BDF，即可判断出DE=DF．
（2）猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG．首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ABD≌△ACD，即可判断出∠BDA=∠CDA=60°；然后根据∠EDG=60°，可得∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，再根据∠CDE=∠BDF，判断出∠EDG=∠FDG，据此推得△DEG≌△DFG，所以EG=FG，最后根据CE=BF，判断出CE+BG=EG即可．
（3）根据（2）的证明过程，要使CE+BG=EG仍然成立，则∠EDG=∠BDA=∠CDA=$\frac{1}{2}$∠CDB，即∠EDG=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，据此解答即可．
（4）首先作CF⊥AD交AD的延长线于点F，根据全等三角形判定的方法，判断出△ACB≌△ACF，即可判断出AB=AF，CB=CF，推得BE+DF=DE；然后求出DE的值，判断出DF、BE的关系，即可求出BE的长是多少．

解答 （1）证明：
∵∠CAB+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠CAB=60°，∠CDB=120°，
∴∠C+∠ABD=360°-60°-120°=180°，
又∵∠DBF+∠ABD=180°，
∴∠C=∠DBF，
在△CDE和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=BD}\\{∠C=∠DBF}\\{CE=BF}\end{array}\right.$（SAS）
∴△CDE≌△BDF，
∴DE=DF．

（2）解：如图1，连接AD，，
猜想CE、EG、BG之间的数量关系为：CE+BG=EG．
证明：在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{BD=CD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$（SSS）
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BDA=∠CDA=$\frac{1}{2}∠CDB$=$\frac{1}{2}×120°$=60°，
又∵∠EDG=60°，
∴∠CDE=∠ADG，∠ADE=∠BDG，
由（1），可得
△CDE≌△BDF，
∴∠CDE=∠BDF，
∴∠BDG+∠BDF=60°，
即∠FDG=60°，
∴∠EDG=∠FDG，
在△DEG和△DFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DF}\\{∠EDG=∠FDG}\\{DG=DG}\end{array}\right.$
∴△DEG≌△DFG，
∴EG=FG，
又∵CE=BF，FG=BF+BG，
∴CE+BG=EG．

（3）解：要使CE+BG=EG仍然成立，
则∠EDG=∠BDA=∠CDA=$\frac{1}{2}$∠CDB，
即∠EDG=$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°-$\frac{1}{2}$α，
∴当∠EDG=90°-$\frac{1}{2}$α时，CE+BG=EG仍然成立．

（4）解：如图2，作CF⊥AD交AD的延长线于点F，，
在△ACB和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAB=∠CAF=30°}\\{∠CBA=∠CFA=90°}\\{AC=AC}\end{array}\right.$（AAS）
∴△ACB≌△ACF，
∴AB=AF，CB=CF，
∴由（2），可得
BE+DF=DE，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
又∵∠CAB=∠CAD=30°，
∴∠EAD=30°+30°=60°，∠ADE=30°，
∴AD=2AE=2×3=6，DE=$\sqrt{3}AE$=3$\sqrt{3}$，
∵AD+DF=AE+BE，
∴6+DF=3+BE，
∴DF=BE-3，
又∵BE+DF=DE，
∴2BE-3=3$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$．

点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．