Question

8．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，m），点P是线段AB上异于A，B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在这样的P点，使△ABC的面积有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
（3）在该坐标平面内有点Q，△ABQ是等腰直角三角形，写出所有满足条件的点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点B坐标代入直线解析式，求出m的值，然后把A、B坐标代入二次函数解析式，求出a、b，即可求得解析式；
（2）设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n²-8n+6），表示出PC的长度，根据S_△ABC=$\frac{1}{2}$•PC•（B_x-A_x）=$\frac{7}{4}$PC，构建二次函数，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时n的值．
（3）分三种情形分别求解即可．①当B为等腰直角三角形的直角顶点时．②当A为等腰直角三角形的直角顶点时．③当Q为等腰直角三角形的直角顶点时．

解答 解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，
∴m=6，即B（4，6），
∵A（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$）和B（4，6）在抛物线y=ax²+bx+6上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+6=\frac{5}{2}}\\{16a+4b+6=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式y=2x²-8x+6；

（2）存在．
设动点P的坐标为（n，n+2），点C的坐标为（n，2n²-8n+6），
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$•PC•（B_x-A_x）=$\frac{7}{4}$PC，
∵PC=（n+2）-（2n²-8n+6）=-2n²+9n-4=-2（n-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{49}{8}$，
∴S_△ABC=-$\frac{7}{2}$（n-$\frac{9}{4}$）²+$\frac{343}{32}$，
∵-$\frac{7}{2}$＜0，
∴开口向下，有最大值，
∴当n=$\frac{9}{4}$时，△ABC的面积有最大值$\frac{343}{32}$．

（3）如图，

①当B为等腰直角三角形的直角顶点时，Q₁（0.5，9.5），Q₂（7.5，2.5），
②当A为等腰直角三角形的直角顶点时，Q₃（-3，6），Q₄（4，-1），
③当Q为等腰直角三角形的直角顶点时，Q₅（4，2.5），Q₆（0.5，9.5），
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（7.5，2.5），（4，-1），（4，2.5），（0.5，9.5），（0.5，6），（-3，6）．

点评 本题考查了二次函数的综合运用、待定系数法求函数解析式、配方法求最值等知识点，解答本题案的关键是根据解析式设出点P和点C的坐标，列出PC的代数式，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．