【题目】理解:数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值,经过思考、讨论、交流,得到以下思路:
思路一 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.设AC=1,则BD=BA=2,BC=.tanD=tan15°===2﹣.
思路二 利用科普书上的和(差)角正切公式:tan(α±β)=.假设α=60°,β=45°代入差角正切公式:tan15°=tan(60°﹣45°)===2﹣.
思路三 在顶角为30°的等腰三角形中,作腰上的高也可以…
思路四 …
请解决下列问题(上述思路仅供参考).
(1)类比:求出tan75°的值;
(2)应用:如图2,某电视塔建在一座小山上,山高BC为30米,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离为60米,从A测得电视塔的视角(∠CAD)为45°,求这座电视塔CD的高度;
(3)拓展:如图3,直线y=x﹣1与双曲线y=交于A,B两点,与y轴交于点C,将直线AB绕点C旋转45°后,是否仍与双曲线相交?若能,求出交点P的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】
(1)
解:(1)方法一:如图1,
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.
设AC=1,则BD=BA=2,BC=.
tan∠DAC=tan75°====2+;
方法二:tan75°=tan(45°+30°)
====2+;
(2)
如图2,
在Rt△ABC中,
AB===,
sin∠BAC===,即∠BAC=30°.
∵∠DAC=45°,∴∠DAB=45°+30°=75°.
在Rt△ABD中,tan∠DAB=,
∴DB=ABtan∠DAB=(2+)=+90,
∴DC=DB﹣BC=+90﹣30=+60.
答:这座电视塔CD的高度为(+60)米;
(3)
①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后,与双曲线相交于点P,如图3.
过点C作CD∥x轴,过点P作PE⊥CD于E,过点A作AF⊥CD于F.
解方程组,得
或,
∴点A(4,1),点B(﹣2,﹣2).
对于y=x﹣1,当x=0时,y=﹣1,则C(0,﹣1),OC=1,
∴CF=4,AF=1﹣(﹣1)=2,
∴tan∠ACF===,
∴tan∠PCE=tan(∠ACP+∠ACF)=tan(45°+∠ACF)
=
==3,即=3.
设点P的坐标为(a,b),
则有,
解得:或,
∴点P的坐标为(﹣1,﹣4)或(,3);
②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后,与x轴相交于点G,如图4.
由①可知∠ACP=45°,P((,3),则CP⊥CG.
过点P作PH⊥y轴于H,
则∠GOC=∠CHP=90°,∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH,
∴△GOC∽△CHP,
∴=.
∵CH=3﹣(﹣1)=4,PH=,OC=1,
∴==,
∴GO=3,G(﹣3,0).
设直线CG的解析式为y=kx+b,
则有,
解得,
∴直线CG的解析式为y=x﹣1.
联立,
消去y,得
=x﹣1,
整理得:x2+3x+12=0,
∵△=32﹣4×1×12=﹣39<0,
∴方程没有实数根,
∴点P不存在.
综上所述:直线AB绕点C旋转45°后,能与双曲线相交,交点P的坐标为(﹣1,﹣4)或(,3).
【解析】(1)如图1,只需借鉴思路一或思路二的方法,就可解决问题;
(2)如图2,在Rt△ABC中,运用勾股定理求出AB,运用三角函数求得∠BAC=30°.从而得到∠DAB=75°.在Rt△ABD中,运用三角函数就可求出DB,从而求出DC长;
(3)①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后,与双曲线相交于点P,如图3.过点C作CD∥x轴,过点P作PE⊥CD于E,过点A作AF⊥CD于F,可先求出点A、B、C的坐标,从而求出tan∠ACF的值,进而利用和(差)角正切公式求出tan∠PCE=tan(45°+∠ACF)的值,设点P的坐标为(a,b),根据点P在反比例函数的图象上及tan∠PCE的值,可得到关于a、b的两个方程,解这个方程组就可得到点P的坐标;②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后,与x轴相交于点G,如图4,由①可知∠ACP=45°,P((,3),则有CP⊥CG.过点P作PH⊥y轴于H,易证△GOC∽△CHP,根据相似三角形的性质可求出GO,从而得到点G的坐标,然后用待定系数法求出直线CG的解析式,然后将直线CG与反比例函数的解析式组成方程组,消去y,得到关于x的方程,运用根的判别式判定,得到方程无实数根,此时点P不存在.
【考点精析】关于本题考查的公式法和求根公式,需要了解要用公式解方程,首先化成一般式.调整系数随其后,使其成为最简比.确定参数abc,计算方程判别式.判别式值与零比,有无实根便得知.有实根可套公式,没有实根要告之;根的判别式△=b2-4ac,这里可以分为3种情况:1、当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时,一元二次方程没有实数根才能得出正确答案.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中.顶点为(﹣4,﹣1)的抛物线交y轴于点A(0,3),交x轴于B,C两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)已知点P是抛物线上位于B,C两点之间的一个动点,问:当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?并求出此时四边形ABPC的面积.
(3)过点B作AB的垂线交抛物线于点D,是否存在以点C为圆心且与线段BD和抛物线的对称轴l同时相切的圆?若存在,求出圆的半径;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点C与原点O重合,点B在y轴的正半轴上,点A在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,点D的坐标为(4,3).
(1)求k的值;
(2)若将菱形ABCD沿x轴正方向平移,当菱形的顶点D落在函数y=(k>0,x>0)的图象上时,求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在第一象限内,点P(2,3),M(a,2)是双曲线y=(k≠0)上的两点,PA⊥x轴于点A,MB⊥x轴于点B,PA与OM交于点C,则△OAC的面积为
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】阅读理解
抛物线y=x2上任意一点到点(0,1)的距离与到直线y=﹣1的距离相等,你可以利用这一性质解决问题.
问题解决
如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx+1与y轴交于C点,与函数y=x2的图象交于A,B两点,分别过A,B两点作直线y=﹣1的垂线,交于E,F两点.
(1)写出点C的坐标,并说明∠ECF=90°
(2)在△PEF中,M为EF中点,P为动点.
①求证:PE2+PF2=2(PM2+EM2);
②已知PE=PF=3,以EF为一条对角线作平行四边形CEDF,若1<PD<2,试求CP的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数(x>0)的图象交矩形OABC的边AB于点D,交边BC于点E,且BE=2EC.若四边形ODBE的面积为6,则k= .
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形,EF与GH交于点P
(1)若AG=AE,证明:AF=AH;
(2)若矩形PFCH的面积,恰矩形AGPE面积的两倍,试确定∠HAF的大小;
(3)若矩形EPHD的面积为 ,求Rt△GBF的周长.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com