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【题目】理解:数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值,经过思考、讨论、交流,得到以下思路:
思路一 如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.设AC=1,则BD=BA=2,BC=.tanD=tan15°===2﹣
思路二 利用科普书上的和(差)角正切公式:tan(α±β)=.假设α=60°,β=45°代入差角正切公式:tan15°=tan(60°﹣45°)===2﹣
思路三 在顶角为30°的等腰三角形中,作腰上的高也可以…
思路四 …
请解决下列问题(上述思路仅供参考).

(1)类比:求出tan75°的值;
(2)应用:如图2,某电视塔建在一座小山上,山高BC为30米,在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离为60米,从A测得电视塔的视角(∠CAD)为45°,求这座电视塔CD的高度;

(3)拓展:如图3,直线y=x﹣1与双曲线y=交于A,B两点,与y轴交于点C,将直线AB绕点C旋转45°后,是否仍与双曲线相交?若能,求出交点P的坐标;若不能,请说明理由.

【答案】
(1)

解:(1)方法一:如图1,

在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB至点D,使BD=BA,连接AD.

设AC=1,则BD=BA=2,BC=

tan∠DAC=tan75°====2+

方法二:tan75°=tan(45°+30°)

====2+


(2)

如图2,

在Rt△ABC中,

AB===

sin∠BAC===,即∠BAC=30°.

∵∠DAC=45°,∴∠DAB=45°+30°=75°.

在Rt△ABD中,tan∠DAB=

∴DB=ABtan∠DAB=(2+)=+90,

∴DC=DB﹣BC=+90﹣30=+60.

答:这座电视塔CD的高度为(+60)米;


(3)

①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后,与双曲线相交于点P,如图3.

过点C作CD∥x轴,过点P作PE⊥CD于E,过点A作AF⊥CD于F.

解方程组,得

∴点A(4,1),点B(﹣2,﹣2).

对于y=x﹣1,当x=0时,y=﹣1,则C(0,﹣1),OC=1,

∴CF=4,AF=1﹣(﹣1)=2,

∴tan∠ACF===

∴tan∠PCE=tan(∠ACP+∠ACF)=tan(45°+∠ACF)

=

==3,即=3.

设点P的坐标为(a,b),

则有

解得:

∴点P的坐标为(﹣1,﹣4)或(,3);

②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后,与x轴相交于点G,如图4.

由①可知∠ACP=45°,P((,3),则CP⊥CG.

过点P作PH⊥y轴于H,

则∠GOC=∠CHP=90°,∠GCO=90°﹣∠HCP=∠CPH,

∴△GOC∽△CHP,

=

∵CH=3﹣(﹣1)=4,PH=,OC=1,

==

∴GO=3,G(﹣3,0).

设直线CG的解析式为y=kx+b,

则有

解得

∴直线CG的解析式为y=x﹣1.

联立

消去y,得

=x﹣1,

整理得:x2+3x+12=0,

∵△=32﹣4×1×12=﹣39<0,

∴方程没有实数根,

∴点P不存在.

综上所述:直线AB绕点C旋转45°后,能与双曲线相交,交点P的坐标为(﹣1,﹣4)或(,3).


【解析】(1)如图1,只需借鉴思路一或思路二的方法,就可解决问题;
(2)如图2,在Rt△ABC中,运用勾股定理求出AB,运用三角函数求得∠BAC=30°.从而得到∠DAB=75°.在Rt△ABD中,运用三角函数就可求出DB,从而求出DC长;
(3)①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后,与双曲线相交于点P,如图3.过点C作CD∥x轴,过点P作PE⊥CD于E,过点A作AF⊥CD于F,可先求出点A、B、C的坐标,从而求出tan∠ACF的值,进而利用和(差)角正切公式求出tan∠PCE=tan(45°+∠ACF)的值,设点P的坐标为(a,b),根据点P在反比例函数的图象上及tan∠PCE的值,可得到关于a、b的两个方程,解这个方程组就可得到点P的坐标;②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后,与x轴相交于点G,如图4,由①可知∠ACP=45°,P((,3),则有CP⊥CG.过点P作PH⊥y轴于H,易证△GOC∽△CHP,根据相似三角形的性质可求出GO,从而得到点G的坐标,然后用待定系数法求出直线CG的解析式,然后将直线CG与反比例函数的解析式组成方程组,消去y,得到关于x的方程,运用根的判别式判定,得到方程无实数根,此时点P不存在.
【考点精析】关于本题考查的公式法和求根公式,需要了解要用公式解方程,首先化成一般式.调整系数随其后,使其成为最简比.确定参数abc,计算方程判别式.判别式值与零比,有无实根便得知.有实根可套公式,没有实根要告之;根的判别式△=b2-4ac,这里可以分为3种情况:1、当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时,一元二次方程没有实数根才能得出正确答案.

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