Question

20．如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和4，∠A=120°．则阴影部分面积是$\sqrt{3}$．（结果保留根号）

Answer 1

分析 设BF交CE于点H，根据菱形的对边平行，利用相似三角形对应边成比例列式求出CH，然后求出DH，根据菱形邻角互补求出∠ABC=60°，再求出点B到CD的距离以及点G到CE的距离；然后根据阴影部分的面积=S_△BDH+S_△FDH，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．

解答 解：如图，设BF交CE于点H，
∵菱形ECGF的边CE∥GF，
∴△BCH∽△BGF，
∴$\frac{CH}{FG}=\frac{BC}{BG}$，
即$\frac{CH}{4}=\frac{2}{2+4}$，
解得CH=$\frac{4}{3}$，
所以，DH=CD-CH=2-$\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$，
∵∠A=120°，
∴∠ECG=∠ABC=180°-120°=60°，
∴点B到CD的距离为2×$\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，
点G到CE的距离为4×$\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，
∴阴影部分的面积=S_△BDH+S_△FDH，
=$\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\sqrt{3}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×2\sqrt{3}$，
=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$

点评 本题考查了菱形的对边平行，邻角互补的性质，相似三角形对应边成比例的性质，求出DH的长度，把阴影部分的面积分成两个三角形的面积进行求解是解题的关键．