Question

【题目】已知抛物线y＝a（x﹣1）2过点（3，4），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点B、C均在抛物线上，其中点B（0，1），且∠BDC＝90°，求点C的坐标：

（3）如图，直线y＝kx+1﹣k与抛物线交于P、Q两点，∠PDQ＝90°，求△PDQ面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x﹣1）2；（2）点C的坐标为（2，1）；（3）4

【解析】

（1）将点（3，4）代入解析式求得a的值即可；

（2）设点C的坐标为（x0，y0），其中y0＝（x0﹣1）2，作CF⊥x轴，证△BDO∽△DCF得，即1＝＝，据此求得x0的值即可得；

（3）过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则DG＝4，根据S△PDQ＝DGMN列出关于k的等式求解可得．

解：（1）将点（3，4）代入解析式，得：4a＝4，

解得：a＝1，

所以抛物线解析式为y＝（x﹣1）2；

（2）由（1）知点D坐标为（1，0），

设点C的坐标为（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），

则y0＝（x0﹣1）2，

如图1，过点C作CF⊥x轴，

∴∠BOD＝∠DFC＝90°，∠DCF+∠CDF＝90°，

∵∠BDC＝90°，

∴∠BDO+∠CDF＝90°，

∴∠BDO＝∠DCF，

∴△BDO∽△DCF，

∴，

∴1＝＝，

解得：x0＝2，此时y0＝1，

∴点C的坐标为（2，1）．

（3）设点P的坐标为（x1，y1），点Q为（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），

如图2，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为M、N，

由y=(x-1)2 ，y=kx+1-k，得x2﹣（2+k）x+k＝0．

∴x1+x2＝2+k，x1x2＝k．

∴MN＝|x1﹣x2|＝＝＝|2﹣k|．

则过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G，则点G的坐标为（1，1），

所以DG＝1，

∴S△PDQ＝DGMN＝×1×|x1﹣x2|＝2＝2|2﹣k|，

∴当k＝0时，S△PDQ取得最小值4．