Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线试纸y=ax2+bx+c与x轴交于点A,C，与y轴交于点B.已知点A坐标为(8，0)，点B为(0，8)，点D为（0，3），tan∠DCO=，直线AB和直线CD相交于点E.

⑴ 求抛物线的解析式，并化成y=a(x-m)2+h的形式；

⑵ 设抛物线的顶点为G，请在直线AB上方的抛物线上求点P的坐标，使得S△ABP=S△ABG.

⑶ 点M为直线AB上的一点，过点M作x轴的平行线分别交直线AB，CD于点M，N，连结DM，DN，是否存在点M，使得△DMN为等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）M（20，-12）或M（， ）， M（-， ）

【解析】试题分析：（1）在Rt△DOC中，由正切可得点C坐标，设抛物线的解析式为，把点B坐标代入，得a的值，即可得抛物线解析式，再化为顶点式即可；

（2）设出P坐标，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，由AB点坐标可得出直线AB的解析式，

由此得PF ,过点G作GH∥y轴交直线AB于H，得GH=3，由PF= GH=3，解得x值，即可求得点P坐标；

（3）分两种情况：①当DM=DN时；②DN=MN时，求得M的值即可.

试题解析：（1）在Rt△DOC中，∵ ，即，

∴OC=4 ，

∴C(-4，0)，

设，把点B（0,8）代入，得，

∴或，

，

（2）设P（x， ），过点P作PF∥y轴交直线AB于F，

∵ A（8,0），B（0,8）

∴

∴F（x,-x+8）

∴PF=，

过点G作GH∥y轴交直线AB于H，则G（2,9），H（2,6）

∴GH=3，

∵PF= GH=3，

∴=3，

解得（舍去）

∴P（6,5）；

（3）第1种情况：

当DM=DN时，M（20，-12），

设M（m，-m+8），则N（-m， ），

∵MN∥x轴，

∴ -m+8= ，

∴m=20，

第2种情况：

当DN=MN时，M M，

设M（m，-m+8），则N（，-m+8），

∴ ， ，

∴，

∴或.