Question

【题目】某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：

（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF　 　GH；（填“＞”“=”或“＜”）

（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证： =；

（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3，CD=5，AD=7．5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）首先过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T，然后根据正方形的性质以及△ABP≌△BCQ的判定与性质，即可得出EF=GH；

（2）首先过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，然后根据矩形的性质以及△PDA∽△QAB的判定与性质，即可得出；

（3）首先过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，判定平行四边形ABSR是矩形，由（1）结论得出，然后判定△ARD∽△DSC，运用其性质和勾股定理构建方程，求解即可.

（1）如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，AD∥BC，AB=BC，∠ABP=∠C=90°

∴四边形BEFQ、四边形PHGA都是平行四边形，

∴AP=GH，EF=BQ．

又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ，

∴∠PBT+∠ABT=90°，∠ABT+∠BAT=90°，

∴∠CBQ=∠BAT，

在△ABP和△BCQ中，

，

∴△ABP≌△BCQ，

∴AP=BQ，

∴EF=GH，

故答案为：=；

（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图2，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥DC，AD∥BC．

∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，

∴AP=EF，GH=BQ．

又∵GH⊥EF，

∴AP⊥BQ，

∴∠QAT+∠AQT=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠D=90°，

∴∠DAP+∠DPA=90°，

∴∠AQT=∠DPA，

∴△PDA∽△QAB，

∴，

∴；

（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，

则四边形ABSR是平行四边形．

∵∠ABC=90°，

∴平行四边形ABSR是矩形，

∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．

∵AM⊥DN，

∴由（1）中的结论可得，

设SC=x，则AR=BS=3+x，

∵∠ADC=∠R=∠S=90°，

∴∠ADR+∠RAD=90°，∠ADR+∠SDC=90°，

∴∠RAD=∠CDS，

∴△ARD∽△DSC，

∴==，

∴DR=x，DS=（x+3），

在Rt△ARD中，∵AD2=AR2+DR2，

∴7.52=（x+3）2+（x）2，

整理得13x2+24x﹣189=0，解得x=3或﹣，

∴AR=6，AB=RS=，

∴=.