Question

等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N（如图1）．
（1）求证：AM=AN；
（2）设BP=x．①若BM=

3

8

，求x的值；
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
③如图2，当x取何值时，∠BAD=15°？

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）由已知条件可以得出AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，从而得出∠DAM=∠PAN，可以得出△ADM≌△APN，就可以得出结论．
（2）①由已知条件可以得出△BPM∽△CAP，可以得出

BM

CP

=

BP

CA

，由已知条件可以建立方程求出BP的值．
②四边形AMPN的面积就是四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积，由△ADM≌△APN，S_△ADM=S_△APN，可以得出重合部分的面积就是△ADP的面积．
③连接PG，若∠DAB=15°，由∠DAP=60°可以得出∠PAG=45°．由已知条件可以得出四边形ADPE是菱形，就有DO垂直平分AP，得到GP=AG，就有∠PAG=∠APG=45°，得出∠PGA=90°，设BG=t，在Rt△BPG中∠APG=60°，就可以求出BP=2t，PG=

3

t，从而求得t的值，即可以求出结论．

解答：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE是等边三角形，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，∠ADM=∠APN=60°，
∴∠DAM=∠PAN．
在△ADM和△APN中，

∠DAM=PAN AD=AP ∠ADM=∠APN

，
∴△ADM≌△APN（ASA），
∴AM=AN．

（2）解：①∵△ABC、△ADP是等边三角形，
∴∠B=∠C=∠DAP=∠BAC=60°，
∴∠DAM=∠PAC，
∵∠ADM=∠B，∠DMA=∠BMP，
∴180°-∠ADM-∠DMA=180°-∠B-∠BMP，
∴∠DAM=∠BPM，
∴∠BPM=∠NAP，
∴△BPM∽△CAP，
∴

BM

CP

=

BP

CA

，
∵BM=

3

8

，AC=2，CP=2-x，
∴4x²-8x+3=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=

3

2

．
②∵四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积，△ADM≌△APN，
∴S_△ADM=S_△APN，
∴S_{四边形AMPN}=S_△APM+S_△APN=S_△AMP+S_△ADM=S_△ADP．
过点P作PS⊥AB，垂足为S，
在Rt△BPS中，
∵∠B=60°，BP=x，
∴PS=BPsin60°=

3

2

x，BS=BPcos60°=

1

2

x，
∵AB=2，
∴AS=AB-BS=2-

1

2

x，
∴AP²=AS²+PS²=（

3

2

x）²-（2-

1

2

x）²=x²-2x+4（0＜x＜2）；

③连接PG，设DE交AP于点O．若∠BAD=15°，
∵∠DAP=60°．∴∠PAG=45°．
∵△APD和△APE都是等边三角形．
∴AD=DP=AP=PE=EA．
∴四边形ADPE是菱形．
∴DO垂直平分AP．
∴AG=GP．
∴∠APG=∠PAG=45°．
∴∠PAG=90°．
设BG=t，在Rt△BPG中，∠B=60°．
∴BP=2t，PG=

3

t．
∴AG=PG=

3

t．
∴

3

t+t=2．解得t=

3

-1．
∴BP=2t=2

3

-2．
故，当x=2

3

-2时，∠BAD=15°．

点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质的运用，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用．本题的综合性较强在解答时要注意解答问题的突破口，这也是解答问题的关键．