Question

【题目】小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：

（习题回顾）已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF；

（变式思考）如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E，则∠CFE与∠CEF还相等吗？说明理由；

（探究廷伸）如图3，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．试判断∠M与∠CFE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠CEF=∠CFE，证明见解析；（3）∠M+∠CFE=90°，证明见解析.

【解析】

[习题回顾]根据三角形的外角的性质证明；

[变式思考]根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答；

[探究廷伸】同（1）、（2）的方法相同．

[习题回顾]证明：∵∠ACB=90°，CD是高，

∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，

∴∠B=∠ACD，

∵AE是角平分线，

∴∠CAF=∠DAF，

∵∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠DAF+∠B，

∴∠CEF=∠CFE；

[变式思考]∠CEF=∠CFE

证明：∵AF为∠BAG的角平分线，

∴∠GAF=∠DAF，

∵CD为AB边上的高，

∴∠ACB=90°，

∴∠ADF=∠ACE=90°，

又∵∠CAE=∠GAF，

∴∠CEF=∠CFE；

[探究思考]∠M+∠CFE=90°，

证明：∵C、A、G三点共线 ， AE、AN为角平分线，

∴∠EAN=90°，

∴∠M+∠CEF=90°，

∵∠CEF=∠EAB+∠B，∠CFE=∠EAC+∠ACD，∠ACD=∠B，

∴∠CEF=∠CFE，

∴∠M+∠CFE=90°．