Question

【题目】如图，在△ABC中，AC=BC=1，∠C=90°，E、F是AB上的动点，且∠ECF=45°，分别过E、F作BC、AC的垂线，垂足分别为H、G，两垂线交于点M．

（1）当点E与点B重合时，请直接写出MH与AC的数量关系 ；

（2）探索AF、EF、BE之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）以C为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，请画出坐标系并利用（2）中的结论证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）见解析．

【解析】

（1）如图1，当点与点重合时，点与点重合，可得，四边形是矩形，进一步得到，根据三线合一可得，证明结论；

（2）如图2所示，将顺时针旋转至，再利用可证，根据全等三角形的性质和勾股定理即可得出结论；

（3）由题意知四边形是矩形，根据（2）的结论和三角形面积求法可得，继而可知，即可证明结论．

解： （1）结论：，

如图1，当点与点重合时，点与点重合，

，，

，

，

，四边形是矩形，

，

，，

，

又∵

，

；

（2）结论：，

证明：如图2所示，

，，

．

将顺时针旋转至，

则，，，；

，

，

．

在和中，

，

，

．

，

，

，即；

（3）以C为坐标原点，以BC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图（3）：

由（2）易知、、是等腰直角三角形，

∴，

∵，，

∴，

同理可得：，，，

由（2）可得，

∴，

又∵，，

∴．