Question

【题目】如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG，点E在CD上，点G在BC的延长线上，M是AF的中点，连接DM，EM．

（1）填空：DM与EM数量关系和位置关系为　 　（直接填写）；

（2）若AB＝4，设CE＝x（0＜x＜4），△MEF面积为y，求y关于x的函数关系式[可利用（1）的结论]，并求出y的最大值；

（3）如果将正方形CEFG绕点C顺时针旋转任意角度，我们发现DM与EM数量关系与位置关系仍未发生改变．

①若正方形ABCD边长AB＝13，正方形CEFG边长CE＝5，当D，E，F三点旋转至同一条直线上时，求出MF的长；

②证明结论：正方形CEFG绕点C顺时针旋转任意角度，DM与EM数量关系与位置关系仍未发生改变．

Answer 1

【答案】（1）DM＝ME，DM⊥EM；（2）y＝（x﹣2）2+1，最大值1；（3）①或 ，②见解析

【解析】

（1）证明△MHA≌△MEF得出MH＝ME，AH＝EF＝EC，得出DH＝DE，由等腰直角三角形的性质即可得出结论；

（2）由全等三角形的性质和三角形面积公式得出y关于x的函数关系式，再由二次函数的性质即可得出结果；

（3）①分两种情况，由全等三角形的性质和勾股定理解答即可；

②证明△ADH≌△CDE得出DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，得出∠HDE＝90°，即可得出结论．

（1）解：结论：DM＝ME，DM⊥EM．

理由：如图1中，延长EM交AD于H．

∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH＝∠MFE，

在△MHA和△MEF中，

∴△MHA≌△MEF（ASA），

∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，

∴DH＝DE，

∵∠EDH＝90°，

∴DM＝ME，DM⊥EM；

故答案为：DM＝ME，DM⊥EM；

（2）解：作MP⊥DH于P，如图2所示：

∵∠EDH＝90°，DM⊥EM，DM＝ME，

∴MP＝DH＝（4﹣x），

由（1）得：△MHA≌△MEF，

∴△MHA的面积＝△MEF的面积，

∴y＝AH×MP＝x×（4﹣x）＝（x2﹣4x）＝（x﹣2）2+1，

即y关于x的函数关系式为y＝x2﹣x，

∵y＝x2﹣x＝（x﹣2）2+1，

∴当x＝2时，y有最大值为1；

（3）①解：当D、E、F三点在正方形ABCD外同一条直线上时，如图3所示：

连接DE，延长EM到H，使得MH＝ME，连接AH，作MR⊥DE于R，

在△AMH和△FME中，，

△AMH≌△FME（SAS），

∴AH＝EF＝EC，∠MAH＝∠MFE，

∴AH∥DF，

∴∠DAH+∠ADE＝180°，

∴∠DAH+∠CDE＝90°，

∵∠DCE+∠EDC＝90°

∴∠DAH＝∠DCE，

在△DAH和△DCE中，，

∴△DAH≌△DCE（SAS），

∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，

∴∠HDE＝∠ADC＝90°，

∵ME＝MH，

∴DM⊥EH，DM＝MH＝EM，

∵正方形ABCD边长AB＝CD＝13，正方形CEFG边长CE＝5，

∴在Rt△CDE中，DE＝＝＝12，

∵DM＝ME，DM⊥ME，

∴MR⊥DE，MR＝DE＝6，DR＝RE＝6，

∴FR＝RE+EF＝11，

在Rt△FMR中，FM＝＝＝；

当D、E、F三点在正方形ABCD内同一条直线上时，如图4中，作MR⊥DE于R，

在Rt△MRF中，FM＝＝＝，

综上所述，满足条件的MF的值为 或 ．

②证明：作AH∥EF交EM的延长线于H，连接DH、DE，如图5所示：

同（1）得：△MHA≌△MEF，

∴MH＝ME，AH＝EF＝CE，

∵AH∥EF，EF⊥CE，

∴AH⊥CE，又∵AD⊥CD，

∴∠DAH＝∠DCE，

在△ADH和△CDE中，，

∴△ADH≌△CDE（SAS），

∴DH＝DE，∠ADH＝∠CDE，

∴∠HDE＝90°，

∵MH＝ME，

∴DM＝ME，DM⊥EM．