Question

【题目】定义：如果一个四边形的一组对角互余，那么我们称这个四边形为“对角互余四边形”．

（1）如图①，在对角互余四边形ABCD中，∠B＝60°，且AC⊥BC，AC⊥AD，若BC＝1，则四边形ABCD的面积为　 　；

（2）如图②，在对角互余四边形ABCD中，AB＝BC，BD＝13，∠ABC+∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，求四边形ABCD的面积；

（3）如图③，在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC＝60°，以AC为边在△ABC异侧作△ACD，且∠ADC＝30°，若BD＝10，CD＝6，求△ACD的面积．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）36；（3）．

【解析】

（1）由AC⊥BC，AC⊥AD，得出∠ACB=∠CAD=90°，利用含30°直角三角形三边的特殊关系以及勾股定理，就可以解决问题；

（2）将△BAD绕点B顺时针旋转到△BCE，则△BCE≌△BAD，连接DE，作BH⊥DE于H，作CG⊥DE于G，作CF⊥BH于F．这样可以求∠DCE=90°，则可以得到DE的长，进而把四边形ABCD的面积转化为△BCD和△BCE的面积之和，△BDE和△CDE的面积容易算出来，则四边形ABCD面积可求；

（3）取BC的中点E，连接AE，作CF⊥AD于F，DG⊥BC于G，则BE=CE=BC，证出△ABE是等边三角形，得出∠BAE=∠AEB=60°，AE=BE=CE，得出∠EAC=∠ECA= =30°，证出∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，得出AC=AB，设AB=x，则AC=x，由直角三角形的性质得出CF=3，从而DF=3，设CG=a，AF=y，证明△ACF∽△CDG，得出，求出y=，由勾股定理得出y2=(x)2-32=3x2-9，b2=62-a2=102-(2x+a)2，(2x+a)2+b2=132，整理得出a=，进而得y=，得出[]2=3x2-9，解得x2=34-6，得出y2=()2，解得y=-3，得出AD=AF+DF=，由三角形面积即可得出答案．

解：（1）∵AC⊥BC，AC⊥AD，

∴∠ACB＝∠CAD＝90°，

∵对角互余四边形ABCD中，∠B＝60°，

∴∠D＝30°，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝1，

∴∠BAC＝30°，

∴AB＝2BC＝2，AC＝BC＝，

在Rt△ACD中，∠CAD＝90°，∠D＝30°，

∴AD＝AC＝3，CD＝2AC＝2，

∵S△ABC＝ACBC＝××1＝，

S△ACD═ACAD＝××3＝，

∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝2，

故答案为：2；

（2）将△BAD绕点B顺时针旋转到△BCE，如图②所示：

则△BCE≌△BAD，

连接DE，作BH⊥DE于H，作CG⊥DE于G，作CF⊥BH于F．

∴∠CFH＝∠FHG＝∠HGC＝90°，

∴四边形CFHG是矩形，

∴FH＝CG，CF＝HG，

∵△BCE≌△BAD，

∴BE＝BD＝13，∠CBE＝∠ABD，∠CEB＝∠ADB，CE＝AD＝8，

∵∠ABC+∠ADC＝90°，

∴∠DBC+∠CBE+∠BDC+∠CEB＝90°，

∴∠CDE+∠CED＝90°，

∴∠DCE＝90°，

在△BDE中，根据勾股定理可得：DE＝＝＝10，

∵BD＝BE，BH⊥DE，

∴EH＝DH＝5，

∴BH＝＝＝12，

∴S△BED＝BHDE＝×12×10＝60，

S△CED＝CDCE＝×6×8＝24，

∵△BCE≌△BAD，

∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△BCE＝S△BED﹣S△CED＝60﹣24＝36；

（3）取BC的中点E，连接AE，作CF⊥AD于F，DG⊥BC于G，如图③所示：

则BE＝CE＝BC，

∵BC＝2AB，

∴AB＝BE，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABE是等边三角形，

∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AE＝BE＝CE，

∴∠EAC＝∠ECA＝∠AEB＝30°，

∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，

∴AC＝AB，

设AB＝x，则AC＝x，

∵∠ADC＝30°，

∴CF＝CD＝3，DF＝CF＝3，

设CG＝a，AF＝y，

在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAC+∠DAC＝360°，

∴∠DAC+∠BCD＝180°，

∵∠BCD+∠DCG＝180°，

∴∠DAC＝∠DCG，

∵∠AFC＝∠CGD＝90°，

∴△ACF∽△CDG，

∴＝，即＝，

∴y，

在Rt△ACF中，Rt△CDG和Rt△BDG中，由勾股定理得：y2＝(x)2﹣32＝3x2﹣9，b2＝62﹣a2＝102﹣(2x+a)2，(2x+a)2+b2=132，

整理得：x2+ax﹣16＝0，

∴a＝，

∴y＝＝×＝，

∴[]2＝3x2﹣9，

整理得：x4﹣68x2+364＝0，

解得：x2＝34﹣6，或x2＝34+6（不合题意舍去），

∴x2＝34﹣6，

∴y2＝3(34﹣6)﹣9＝93﹣18＝93﹣2＝()2，

∴y＝﹣3，

∴AF＝﹣3，

∴AD＝AF+DF＝，

∴△ACD的面积＝AD×CF＝××3＝．