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【题目】探究题

(1)理解证明:
如图1,∠MAN=90°,射线AE在这个角的内部,点B,C在∠MAN的边AM,AN上,且AB=AC,CF⊥AE于点F,BD⊥AE于点D.证明△ABD≌△CAF;
(2)类比探究:
如图2,点B,C在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;
(3)如图3,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D在边BC上,CD=2BD,点E、F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为15,则△ACF与△BDE的面积之和为多少?

【答案】
(1)

证明:∵CF⊥AE,BD⊥AE,

∴∠ADB=∠CFA=90°,

∵∠MAN=90°,

∴∠ABD+∠BAD=90°,又∠CAF+∠BAD=90°,

∴∠ABD=∠CAF,

在△ABD和△CAF中,

∴△ABD≌△CAF;


(2)

证明:∵∠1=∠2,

∴∠ABE=∠CAF,

∵∠1=∠ABE+∠EAB,∠1=∠BAC,

∴∠ABE=∠CAF,

在△ABE和△CAF中,

∴△ABE≌△CAF;


(3)

∵△ABC的面积为15,CD=2BD,

∴△ABD的面积为15× =5,

由类比探究得,△ABE≌△CAF,

∴△ACF与△BDE的面积之和=△ABD的面积=5


【解析】理解证明:根据AAS证明△ABD≌△CAF;
类比探究:根据AAS证明即可;
拓展应用:利用类比探究的结论、三角形的面积公式计算即可.

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