Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．

Answer 1

解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax²+bx+c得：

，

解得：，

则抛物线的解析式是：y=﹣x²+x+3；

（2）如图1，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM₁，则△AM₁C是等腰三角形，

∵AC==，

∴CN=，

∵△CNM₁∽△COA，

∴=，

∴=，

∴CM₁=，

∴OM₁=OC﹣CM₁=3﹣=，

∴M₁的坐标是（0，），

当CA=CM₂=时，则△AM₂C是等腰三角形，

则OM₂=3+，

M₂的坐标是（0，3+），

当CA=AM₃=时，则△AM₃C是等腰三角形，

则OM₃=3，

M₃的坐标是（0，﹣3），

当CA=CM₄=时，则△AM₄C是等腰三角形，

则OM₄=﹣3，

M₄的坐标是（0，3﹣），

（3）如图2，当点P在y轴或y轴右侧时，

设直线与BC交与点D，

∵OB=4，OC=3，

∴S_△BOC=6，

∵BP=BO﹣OP=4﹣t，

∴=，

∵△BPD∽△BOC，

∴=（）²，

∴=（）²，

∴S=S_△BPD=t²﹣3t+6（0≤t＜4）；

当点P在y轴左侧时，

设直线与AC交与点E，

∵OP=﹣t，AP=t+2，

∴=，

∵=（）²，

∴=（）²，

∴S_△APE=，

∴S=S_△ABC﹣S_△APE=9﹣=﹣t²﹣3t+6（﹣2＜t＜0）．