Question

10．如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上的一点，且∠BFE=∠C．
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若BC=4，AB=3$\sqrt{3}$，BE=3，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）可通过证明∠BAF=∠AED，∠AFB=∠D，证得△ABF∽△EAD；
（2）根据（1）的相似三角形可得出关于AB，AE，AD，BF的比例关系，有了AD，AB的长，只需求出AE的长即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的长，这样就能求出BF的长了．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED，∠D+∠C=180°，
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB+∠C=180°，
∴∠D=∠AFB，
∴△ABF∽△EAD；

（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，
∴∠ABE=90°
∵AB=3$\sqrt{3}$，BE=3，
∴在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（3\sqrt{3}）^{2}}$=6，
∵△ABF∽△EAD，
∴$\frac{BF}{AD}=\frac{AB}{AE}$，
∴BF=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等角的补角相等，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．