Question

【题目】对于平面内的点和点，给出如下定义：点为平面内一点，若点使得是以为顶角且小于90°的等腰三角形，则称点是点关于点的锐角等腰点．如图，点是点关于点的锐角等腰点．

在平面直角坐标系xOy中，点O为坐标原点

(1)已知点，在点，， ，中，是点关于点的锐角等腰点的是 ；

(2)已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角等腰点，求实数的取值范围．

(3) 点是轴上的动点，，，点是以点为圆心，2为半径的圆上一动点．且满足，若直线上存在点关于点的锐角等腰点，请直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）直接根据锐角等腰点的概念和等腰三角形的性质逐一判断即可；

（2）先以为圆心，为半径画圆，然后根据数形结合，找到两个临界点，一个临界点是直线刚好与圆相切时，另一个临界点是直线刚好过点时，分别求出相应的b的值，即可确定b的范围；

（3）根据题意，找到两个临界点，当点E,F在直线左侧时，过点E作于点M， 过点M作于点N，过点F作于点G，当时，利用全等三角形的判定及性质求解；当点E,F在直线右侧时，，且直线与圆相切时，设切点为点K，过点K作于点M，利用三角函数和勾股定理求解．

（1） ，

∴ ，

∴等腰三角形的腰长为2．

∵，

，且是锐角，满足条件，

∴是点关于点的锐角等腰点；

∵，

，但是直角，不满足条件，

∴不是点关于点的锐角等腰点；

∵，

，不满足条件，

∴不是点关于点的锐角等腰点；

∵，

，不满足条件，

∴不是点关于点的锐角等腰点；

综上所述，是点关于点的锐角等腰点的是；

(2) 以为圆心，为半径画圆，

当直线与圆相切时，设切点为点D，过点D作于点E，

令，则，令，则，解得 ，

∴，

．

，

，

．

，

，

．

设，

，

，

解得 ，

，

，

．

将点D代入中得，，

解得 ；

当直线过G点时，此时 ，

将点G代入中得，，

解得 ，

∴实数的取值范围为；

(3) 当点E,F在直线左侧时，过点E作于点M， 过点M作于点N，过点F作于点G，

当时，

∵，

，

．

，

，

，

．

，

，

，

．

将点M代入中得，，

当时，直线上存在点关于点的锐角等腰点，

，

；

当点E,F在直线右侧时，，且直线与圆相切时，设切点为点K，过点K作于点M，

令，则，令，则，解得 ，

∴，

．

，

，

．

，

，

．

设，

，

，

解得 ，

，

，

．

将点M代入中得，，

解得 ；

综上所述，直线上存在点关于点的锐角等腰点，t的取值范围为．