Question

【题目】阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

已知：如图，四边形ABCD是平行四边形；

求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．

小凯的作法如下：

(1)连接AC；

(2)作AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于E，F．

(3)连接AE，CF

所以四边形AECF是菱形．

老师说：“小凯的作法正确”．

回答下列问题：

根据小凯的做法，小明将题目改编为一道证明题，请你帮助小明完成下列步骤：

(1)已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，　 　．(补全已知条件)

求证：四边形AECF是菱形．

(2)证明：(写出证明过程)

Answer 1

【答案】（1）EF垂直平分AC；（2）证明见解析

【解析】

（1）根据菱形对角线互相垂直且平分添加即可；（2）如图：根据垂直平分线的性质可证明AE=CE、AF=CF，再由ABCD是平行四边形可证明∠FAC=∠ECA、∠AFE=∠FEC，即可证明△AOF≌△COE，进而证明AF=CE，即可证明AE=EC=CF=FA，可证明四边形AECF是菱形.

（1）添加EF垂直平分AC；

（2）∵EF垂直平分AC，

∴AF=CF，AE=EC，AO=CO，

∵AF//CE，

∴∠FAC=∠ECA、∠AFE=∠FEC，

∵AO=CO，

∴△AOF≌△COE，

∴AF=CE，

∴AE=EC=CF=FA，

∴四边形AECF是菱形.