Question

【题目】如图，已知△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．

（1）求证：FE是⊙O的切线；

（2）若FE＝4，FC＝2，求⊙O的半径及CG的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CG=．

【解析】分析: （1）证明OE是△ABC的中位线，得出OE∥AC，再由已知条件得出FE⊥OE，即可得出结论；

（2）由切割线定理求出直径，得出半径的长，由平行线得出三角形相似，得出比例式，即可得出结果.

详解:

（1）证明：连接CE，

∵BC是直径，

∴∠BEC=90°，

∴CE⊥AB；

又∵AC=BC，

∴AE=BE．

连接OE，

∵BE=AE，OB=OC，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE∥AC，AC=2OE=6．

又∵EG⊥AC，

∴FE⊥OE，

∴FE是⊙O的切线．

(2)∵EF是⊙O的切线，∠CEF+∠CEO=900,且BC是直径

∴∠BEO+∠CEO=900

∴∠CEF=∠BEO,∠F为公共角，

∴ΔCEF∽ΔEBF

∴FE2=FCFB．

设FC=x，则有2FB=16，

∴FB=8，

∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，

∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；

∴OE=3，

∵OE∥AC，

∴△FCG∽△FOE，

∴，即，

解得：CG=．

点睛: 本题考查了切线的判定、等腰三角形的性质、三角形中位线的判定、切割线定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的判定，由三角形中位线定理得出OE∥AC是解决问题的关键.