Question

如图，等边△ABC中，点M在AC边上，点N在CB的延长线上，且AM=BN，MC=nAM，线段MN交AB交于P点．
（1）当n=1时，求

PM

PN

和

PA

PB

的值；
（2）当n=2时，求证：PA=2PB；
（3）当n为何值时，PA=5PB？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：常规题型

分析：作MD∥BC，交AB于D，易证△DMP≌△BNP；
（1）根据△DMP≌△BNP即可求得

PM

PN

和

AP

BP

的值；
（2）取n=2，即可求得

BP

AP

=

1

2

，即可解题；
（3）当PA=5PB时，可求得

AM

MC

=

AD

BD

=2，即可解题．

解答：解：如图，作MD∥BC，交AB于D，

则AM=DM=AD，
∴△ADM∽△ABC，
又∵AM=BN，
∴BN=DM，
在△DMP和△BNP中，

∠DPM=∠BPN DM=BN ∠MDP=∠NBP

，
∴△DMP≌△BNP（ASA），
∴PM=PN，PD=PB，
∴

PM

PN

=1，
（1）当n=1时（即点M是AC中点），AM=DM=BN，
∴PB=

BD

2

，
又AD=BD=

AB

2

，
∴

AB

BP

=4，
∴

AP

BP

=3，
（2）当n=2时

AD

AB

=

AM

AC

=

1

3

，

BD

AB

=

2

3

，

BP

AB

=

1

3

，
∴

BP

AP

=

1

2

，
即AP=2PB； 
（3）当PA=5PB时，

PB

AB

=

1

6

，

BD

AB

=

1

3

，

AM

MC

=

AD

BD

=2，
∴n=

1

2

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了相似三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了相似三角形对应边比例相等的性质．