【题目】在平面直角坐标系xOy中,定义点P(x,y)的变换点为P′(x+y,x﹣y).
(1)如图1,如果⊙O的半径为2 ,
①请你判断M(2,0),N(﹣2,﹣1)两个点的变换点与⊙O的位置关系;
②若点P在直线y=x+2上,点P的变换点P′在⊙O的内,求点P横坐标的取值范围.
(2)如图2,如果⊙O的半径为1,且P的变换点P′在直线y=﹣2x+6上,求点P与⊙O上任意一点距离的最小值.
【答案】
(1)解:①M(2,0)的变换点M′的坐标为(2,2),则OM′= =2 ,所以点M(2,0)的变换点在⊙O上;
N(﹣2,﹣1)的变换点N′的坐标为(﹣3,﹣1),则ON′= = >2 ,所以点N(﹣2,﹣1)的变换点在⊙O外;
②设P点坐标为(x,x+2),则P点的变换点为P′的坐标为(2x+2,﹣2),则OP′= ,
∵点P′在⊙O的内,
∴ <2 ,
∴(2x+2)2<4,即(x+1)2<1,
∴﹣1<x+1<1,解得﹣2<x<0,
即点P横坐标的取值范围为﹣2<x<0
(2)解:设点P′的坐标为(x,﹣2x+6),P(m,n),
根据题意得m+n=x,m﹣n=﹣2x+6,
∴3m+n=6,
即n=﹣3m+6,
∴P点坐标为(m,﹣3m+6),
∴点P在直线y=﹣3x+6上,
设直线y=﹣3x+6与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,过O点作OH⊥AB于H,交⊙O于C,如图2,
则A(2,0),B(0,6),
∴AB= =2 ,
∵ OHAB= OAOB,
∴OH= = ,
∴CH= ﹣1,
即点P与⊙O上任意一点距离的最小值为 ﹣1.
【解析】(1)①根据新定义得到点M的变换点M′的坐标为(2,2),于是根据勾股定理计算出OM′=2 ,则根据点与圆的位置关系的判定方法可判断点M的变换点在⊙O上;同样方法可判断点N(﹣2,﹣1)的变换点在⊙O外②利用一次函数图象上点的坐标特征,设P点坐标为(x,x+2),利用新定义得到P点的变换点为P′的坐标为(2x+2,﹣2),则根据勾股定理计算出OP′= ,然后利用点与圆的位置关系得到 <2 ,解不等式得﹣2<x<0;(2)设点P′的坐标为(x,﹣2x+6),P(m,n),根据新定义得到m+n=x,m﹣n=﹣2x+6,消去x得3m+n=6,则n=﹣3m+6,于是得到P点坐标为(m,﹣3m+6),则可判断点P在直线y=﹣3x+6上,设直线y=﹣3x+6与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,过O点作OH⊥AB于H,交⊙O于C,如图2,易得A(2,0),B(0,6),利用勾股定理计算出AB=2 ,再利用面积法计算出OH= ,所以CH= ﹣1,当点P在H点时,PC为点P与⊙O上任意一点距离的最小值.
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【题目】如图,二次函数y1=ax2+bx+3的图像与x轴相交于点A(﹣3,0)、B(1,0),交y轴于点C,C,D是二次函数图像上的一对对称点,一次函数y2=mx+n的图像经过B、D两点.
(1)求二次函数的解析式及点D的坐标;
(2)根据图像写出y2>y1时,x的取值范围.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC的中点,直角∠MDN绕点D旋转,DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点,下列结论:①△DEF是等腰直角三角形;②AE=CF;③△BDE≌△ADF;④BE+CF=EF,其中正确结论是( )
A. ①②④ B. ②③④
C. ①②③ D. ①②③④
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【题目】如图所示,在平行四边形ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的点F,若△FDE的周长为7,△FCB的周长为19,求FC的长.
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【题目】如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F,连接EC.
(1)求证:OE=OF;
(2)若EF⊥AC,平行四边形ABCD的周长是22,求△BEC的周长.
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【题目】近两年,国际市场黄金价格涨幅较大,中国交通银行推出“沃德金”的理财产品,即以黄金为投资产品,投资者从黄金价格的上涨中赚取利润.上周五黄金的收盘价为元/克,下表是本周星期一至星期五黄金价格的变化情况.(注:星期一至星期五开市,星期六、星期日休市)
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 |
收盘价的变化(与前一天收盘价比较) |
问
本周星期三黄金的收盘价是多少?
本周黄金收盘时的最高价、最低价分别是多少?
上周,小王以周五的收盘价元/克买入黄金克,已知买入与卖出时均需支付成交金额的千分之五的交易费,卖出黄金时需支付成交金额的千分之三的印花税.本周,小王以周五的收盘价全部卖出黄金克,他的收益情况如何?
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【题目】如图,长方形 ABCD 中, AB = a, BC = b, a > b .以 AB 边为轴将长方形旋转一周形成 圆柱体甲,再以 BC 边为轴将长方形旋转一周形成圆柱体乙.记两个圆柱体的体积分别为 V甲 ,V乙 ,侧面积分别为 S甲, S乙 ,则下列正确的是( )
A. V甲 > V乙 , S甲=S乙
B. V甲 < V乙 , S甲= S乙
C. V甲= V乙 , S甲= S乙
D. V甲 > V乙 , S甲 < S乙
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【题目】如图,已知动点P在函数(x>0)的图象上运动,PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,线段PM、PN分别与直线AB:y=﹣x+1交于点E,F,则AFBE的值为( )
A. 4 B. 2 C. 1 D.
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