【题目】如果a:b=b:c,即b2=ac,则b叫a和c的比例中项,或等比中项.若一个三角形一条边是另两条边的等比中项,我们把这个三角形叫做等比三角形.
(1)已知△ABC是等比三角形,AB=2,BC=3.请直接写出所有满足条件的AC的长;
(2)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC,求证:△ABC是等比三角形;
(3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC=90时,求的值.
【答案】(1)AC=或或时,△ABC是比例三角形;(2)见解析;(3) .
【解析】
(1)根据题目中定义的等比三角形求解即可,应分三种情况讨论;
(2)根据题意可先证明△ABC∽△DCA,从而可得CA2=BCAD,再根据已知条件证明AB=AD,从而可证明CA2=BCAB,继而△ABC是等比三角形得证;
(3)过点A作AH⊥BD于点H,由等腰三角形的性质可得BH=BD,根据题意可证△ABH∽△DBC,从而可得ABBC=BD2,由(2)的结论可得BD2=AC2,进而可求的值.
解:(1)∵△ABC是比例三角形,且AB=2、BC=3,
①当AB2=BCAC时,得:4=3AC,解得:AC=;
②当BC2=ABAC时,得:9=2AC,解得:AC=;
③当AC2=ABBC时,得:AC2=6,解得:AC=(负值舍去);
所以当AC=或或时,△ABC是等比三角形;
(2)∵AD∥BC,
∴∠ACB=∠CAD,
又∵∠BAC=∠ADC,
∴△ABC∽△DCA,
∴,即CA2=BCAD,
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∴∠ADB=∠ABD,
∴AB=AD,
∴CA2=BCAB,
∴△ABC是等比三角形;
(3)如图,过点A作AH⊥BD于点H,
∵AB=AD,
∴BH=BD,
∵AD∥BC,∠ADC=90°,
∴∠BCD=90°,
∴∠BHA=∠BCD=90°,
又∵∠ABH=∠DBC,
∴△ABH∽△DBC,
∴,即ABBC=BHDB,
∴ABBC=BD2,
又∵ABBC=AC2,
∴BD2=AC2,
∴= .
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【题目】已知是关于的方程的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长,则的周长为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 8或10
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【题目】随着信息技术的迅猛发展,人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷,在一次购物中,张华和李红都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“现金”四种支付方式中选一种方式进行支付.
(1)张华用“微信”支付的概率是______.
(2)请用画树状图或列表法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.(其中“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“现金”分别用字母“A”“B”“C”“D”代替)
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【题目】如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40千米/小时.数学实践活动小组设计了如下活动:在l上确定A,B两点,并在AB路段进行区间测速在l外取一点P,作PC⊥1,垂足为点C.测得PC=30米,∠APC=71°,∠BPC=35°,测得一汽车从点A到点B用时6秒,请你用所学的数学知识说明该车是否超速?(参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)
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【题目】为弘扬中华优秀传统文化,某校开展“经典诵读”比赛活动,诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》(依次用字母A,B,C表示这三个材料),将A,B,C分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上,背面朝上洗匀后放在桌面上,比赛时小礼先从中随机抽取一张卡片,记下内容后放回,洗匀后,再由小智从中随机抽取一张卡片,他俩按各自抽取的内容进行诵读比赛.
(1)小礼诵读《论语》的概率是 ;(直接写出答案)
(2)请用列表或画树状图的方法求他俩诵读两个不同材料的概率.
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【题目】在国家政策的调控下,某市的商品房成交均价由今年5月份的每平方米10000元下降到7月份的每平方米8100元.
(1)求6、7两月平均每月降价的百分率;
(2)如果房价继续回落,按此降价的百分率,请你预测到9月份该市的商品房成交均价是否会跌破每平方米6500元?请说明理由.
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【题目】如图,已知点A(12,0),O为坐标原点,P是线段OA上任一点(不含端点O、A),二次函数y1的图象过P、O两点,二次函数y2的图象过P、A两点,它们的开口均向下,顶点分别为B、C,射线OB与射线AC相交于点D.则当OD=AD=9时,这两个二次函数的最大值之和等于( )
A. 8 B. 3 C. 2 D. 6
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【题目】在Rt△ABC中,∠B=60°,BC=3,D为BC边上的三等分点,BD=2CD,E为AB边上一动点,将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置,连接AB′,则线段AB′的最小值为:___________.
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