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【题目】如果abbc,即b2ac,则bac的比例中项,或等比中项.若一个三角形一条边是另两条边的等比中项,我们把这个三角形叫做等比三角形.

1)已知ABC是等比三角形,AB2BC3.请直接写出所有满足条件的AC的长;

2)如图,在四边形ABCD中,ADBC,对角线BD平分∠ABC,∠BAC=∠ADC,求证:ABC是等比三角形;

3)如图2,在(2)的条件下,当∠ADC90时,求的值.

【答案】1AC时,ABC是比例三角形;(2)见解析;(3

【解析】

1)根据题目中定义的等比三角形求解即可,应分三种情况讨论;

2)根据题意可先证明△ABC∽△DCA,从而可得CA2BCAD,再根据已知条件证明ABAD,从而可证明CA2BCAB,继而△ABC是等比三角形得证;

3)过点AAHBD于点H,由等腰三角形的性质可得BHBD,根据题意可证△ABH∽△DBC,从而可得ABBCBD2,由(2)的结论可得BD2AC2,进而可求的值.

解:(1)∵△ABC是比例三角形,且AB2BC3

①当AB2BCAC时,得:43AC,解得:AC

②当BC2ABAC时,得:92AC,解得:AC

③当AC2ABBC时,得:AC26,解得:AC(负值舍去);

所以当AC时,ABC是等比三角形;

2)∵ADBC

∴∠ACB=∠CAD

又∵∠BAC=∠ADC

∴△ABC∽△DCA

,即CA2BCAD

ADBC

∴∠ADB=∠CBD

BD平分∠ABC

∴∠ABD=∠CBD

∴∠ADB=∠ABD

ABAD

CA2BCAB

∴△ABC是等比三角形;

3)如图,过点AAHBD于点H

ABAD

BHBD

ADBC,∠ADC90°

∴∠BCD90°

∴∠BHA=∠BCD90°

又∵∠ABH=∠DBC

∴△ABH∽△DBC

,即ABBCBHDB

ABBCBD2

又∵ABBCAC2

BD2AC2

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